Use o Método de Newton-Raphson e Método das Secantes para calcular a raiz positiva de cada equação abaixo com erro menor igual a 10^{-2} (Obs.: depois de fazer os cálculos de cada iteração de cada método para cada equação abaixo, faça uma tabela (modelo abaixo) com o resultado de cada iteração dos dois métodos):
f(x)=4 \operatorname{sen} x-e^{x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a raiz positiva da função
f(x)=4\sin x - e^{x}
usando o Método de Newton–Raphson e o Método das Secantes, com critério de parada \lvert x_{n+1}-x_n\rvert\le10^{-2}.

Passo 2

A primeira coisa é escrever a derivada
f'(x)=4\cos x - e^{x}
e as fórmulas de iteração:
para Newton–Raphson
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
e para Secantes
x_{n+2} = x_{n+1} - f(x_{n+1})\,\frac{x_{n+1}-x_n}{f(x_{n+1})-f(x_n)}.
Escolhemos como chute inicial para Newton x_0=0.5.
Para Secantes usamos x_0=0 e x_1=0.5.

Passo 3

Aplicando Newton–Raphson até \lvert x_{n+1}-x_n\rvert\le10^{-2}:
  1. x_0=0.5000 f(0.5)=4\sin(0.5)-e^{0.5}\approx0.2670 f'(0.5)=4\cos(0.5)-e^{0.5}\approx1.8610 x_1=0.5-\tfrac{0.2670}{1.8610}\approx0.3565, erro \lvert0.3565-0.5\rvert=0.1435 2. x_1=0.3565 f(0.3565)\approx-0.0325 f'(0.3565)\approx2.3200 x_2=0.3565-\tfrac{-0.0325}{2.3200}\approx0.3705, erro \lvert0.3705-0.3565\rvert=0.0140 3. x_2=0.3705 f(0.3705)\approx0.0003 f'(0.3705)\approx2.2803 x_3=0.3705-\tfrac{0.0003}{2.2803}\approx0.3704, erro \lvert0.3704-0.3705\rvert=0.0001\le10^{-2}
    → critério atendido

Passo 4

Aplicando o Método das Secantes até \lvert x_{n+1}-x_n\rvert\le10^{-2}:
  1. x_0=0.0000,\;x_1=0.5000
  2. x_2 = 0.5 - 0.2670\,\frac{0.5-0}{0.2670-(-1)}\approx0.3946, erro \lvert0.3946-0.5\rvert=0.1054 3. x_3 = 0.3946 - 0.0526\,\frac{0.3946-0.5}{0.0526-0.2670}\approx0.3687, erro \lvert0.3687-0.3946\rvert=0.0259 4. x_4 = 0.3687 - (-0.0051)\,\frac{0.3687-0.3946}{-0.0051-0.0526}\approx0.3710, erro \lvert0.3710-0.3687\rvert=0.0023\le10^{-2}
    → critério atendido

Passo 5

Tabela com todas as iterações e seus erros:
\begin{array}{c|cc|cc} i & x_i^{(N)} & |x_i^{(N)}-x_{i-1}^{(N)}| & x_i^{(S)} & |x_i^{(S)}-x_{i-1}^{(S)}|\\hline 0 & 0.5000 & - & 0.0000 & - \\\\ 1 & 0.3565 & 0.1435 & 0.5000 & 0.5000 \\\\ 2 & 0.3705 & 0.0140 & 0.3946 & 0.1054 \\\\ 3 & 0.3704 & 0.0001 & 0.3687 & 0.0259 \\\\ 4 & – & – & 0.3710 & 0.0023 \end{array}

Resposta

A raiz positiva aproximada é cerca de 0.37.

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