use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a segir com precisão de 0,01
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: usar o método de Newton–Raphson para obter a menor raiz positiva da equação
com precisão de
.
Informações dadas e o que precisamos:
- Equação dada:
. - Precisamos a menor raiz positiva (ou seja, a solução
mais próxima de zero). - Precisamos de uma aproximação com erro (absoluto) menor que
.
Passo 2
Breve aula sobre o método de Newton–Raphson (explicação didática, passo a passo):
- Seja
uma função diferenciável e queremos resolver . - Escolhe-se um palpite inicial
perto da raiz. Em seguida gera-se a sequência
- A ideia: aproximar
por sua reta tangente em e tomar a interseção dessa reta com o eixo como novo palpite. - Critério de parada (aqui): parar quando
(isso garante que a raiz está conhecida com precisão ). Outra opção é checar tolerância, mas usaremos a diferença entre iterações.
Passo 3
Aplicando o método ao problema:
- Definimos
- Derivada:
- A iteração de Newton fica
Essa forma é conveniente porque evita dividir por
explicitamente no passo de cálculo (mas numericamente é a mesma coisa).
Passo 4
Escolha do palpite inicial e justificativa:
- A equação
tem solução principal , que está entre e . Um palpite natural é (radianos), pois está perto de . - Vamos iterar a partir de
.
Cálculo da primeira iteração:
- Calcular
. Usando valor aproximado,
- Logo
- Calcular
e :
- Atualização:
- Produto
. Assim
- Diferença entre iterações:
portanto ainda não atingimos a precisão pedida; continuamos.
Passo 5
Segunda iteração (esperamos já convergir bem, pois Newton costuma convergir rápido quando perto da raiz):
- Avaliando em
. Como está muito perto da raiz real, usamos aproximações numéricas consistentes: - Estimativa da derivada local:
perto da raiz vale aproximadamente . Sabendo que na raiz exata temos , portanto na raiz é . Isso ajuda a estimar pequenas variações. - Calcular
aproximadamente (usando desenvolvimento linear ou avaliação numérica direta):
- Logo
- Tomando
(muito próximo de verdadeira), a correção é
- Assim
- Diferença entre iterações:
Portanto atingimos a precisão requerida e podemos parar. Como verificação rápida,
está muito próximo de
, logo
é próximo de zero.