use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a segir com precisão de 0,01
a) 1 / 2-\operatorname{tg}(x)=0

Passo 1

O enunciado pede: usar o método de Newton–Raphson para obter a menor raiz positiva da equação
\frac{1}{2}-\operatorname{tg}(x)=0
com precisão de 0,01.
Informações dadas e o que precisamos:
  • Equação dada: \dfrac{1}{2}-\operatorname{tg}(x)=0.
  • Precisamos a menor raiz positiva (ou seja, a solução x>0 mais próxima de zero).
  • Precisamos de uma aproximação com erro (absoluto) menor que 0,01.

Passo 2

Breve aula sobre o método de Newton–Raphson (explicação didática, passo a passo):
  • Seja f(x) uma função diferenciável e queremos resolver f(x)=0.
  • Escolhe-se um palpite inicial x_0 perto da raiz. Em seguida gera-se a sequência
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • A ideia: aproximar f por sua reta tangente em x_n e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como novo palpite.
  • Critério de parada (aqui): parar quando |x_{n+1}-x_n|<0,01 (isso garante que a raiz está conhecida com precisão 0,01). Outra opção é checar |f(x_{n+1})|< tolerância, mas usaremos a diferença entre iterações.

Passo 3

Aplicando o método ao problema:
  • Definimos
f(x)=\frac{1}{2}-\tan(x).
  • Derivada:
f'(x)=-\operatorname{sec}^2(x)=-\frac{1}{\cos^2(x)}.
  • A iteração de Newton fica
x_{n+1}=x_n-\frac{\tfrac{1}{2}-\tan(x_n)}{-\operatorname{sec}^2(x_n)} = x_n+\bigl(\tfrac{1}{2}-\tan(x_n)\bigr)\cos^2(x_n).
Essa forma é conveniente porque evita dividir por \cos^2 explicitamente no passo de cálculo (mas numericamente é a mesma coisa).

Passo 4

Escolha do palpite inicial e justificativa:
  • A equação \tan(x)=\tfrac{1}{2} tem solução principal x=\arctan(\tfrac{1}{2}), que está entre 0 e \tfrac{\pi}{4}. Um palpite natural é x_0=0,5 (radianos), pois 0,5 está perto de \arctan(0,5).
  • Vamos iterar a partir de x_0=0,5.
Cálculo da primeira iteração:
  • Calcular \tan(0,5). Usando valor aproximado,
\tan(0,5)\approx 0,54630.
  • Logo
f(0,5)=\tfrac{1}{2}-\tan(0,5)\approx 0,5-0,54630=-0,046302.
  • Calcular \cos(0,5) e \cos^2(0,5):
\cos(0,5)\approx 0,87758,\qquad \cos^2(0,5)\approx 0,770151.
  • Atualização:
x_1=x_0+\bigl(\tfrac{1}{2}-\tan(0,5)\bigr)\cos^2(0,5) \approx 0,5+(-0,046302)\cdot 0,770151.
  • Produto (-0,046302)\cdot 0,770151\approx -0,035647. Assim
x_1\approx 0,5-0,035647=0,464353.
  • Diferença entre iterações:
|x_1-x_0|\approx|0,464353-0,5|=0,035647>0,01,
portanto ainda não atingimos a precisão pedida; continuamos.

Passo 5

Segunda iteração (esperamos já convergir bem, pois Newton costuma convergir rápido quando perto da raiz):
  • Avaliando em x_1\approx 0,464353. Como x_1 está muito perto da raiz real, usamos aproximações numéricas consistentes:
  • Estimativa da derivada local: \operatorname{sec}^2(x) perto da raiz vale aproximadamente 1/\cos^2. Sabendo que na raiz exata \tan x=0,5 temos \cos^2 x=1/(1+\tan^2 x)=1/(1+0,25)=0,8, portanto \operatorname{sec}^2 na raiz é 1/0,8=1,25. Isso ajuda a estimar pequenas variações.
  • Calcular \tan(x_1) aproximadamente (usando desenvolvimento linear ou avaliação numérica direta):
\tan(0,464353)\approx 0,50088.
  • Logo
f(x_1)=\tfrac{1}{2}-\tan(0,464353)\approx -0,00088.
  • Tomando \cos^2(x_1)\approx 0,80 (muito próximo de 0,8 verdadeira), a correção é
\Delta x = f(x_1)\cos^2(x_1)\approx (-0,00088)\cdot 0,80\approx -0,000705.
  • Assim
x_2=x_1+\Delta x\approx 0,464353-0,000705=0,463648.
  • Diferença entre iterações:
|x_2-x_1|\approx 0,000705<0,01.
Portanto atingimos a precisão requerida e podemos parar. Como verificação rápida, \tan(0,463648) está muito próximo de 0,5, logo f(x_2) é próximo de zero.

Resposta

x \approx 0,46

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