Determine as equações das retas tangentes à elipse
e perpendiculares à reta
. Resp.:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a elipse
e pede as equações das retas tangentes a essa elipse que sejam perpendiculares à reta
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A reta dada pode ser escrita como
, logo seu coeficiente angular (inclinação) é . - Retas perpendiculares a essa devem ter coeficiente angular
tal que . Portanto o coeficiente angular procurado é .
O que precisamos encontrar: as retas tangentes à elipse cujo coeficiente angular (da reta tangente) seja.
Passo 2
Conceito usado: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente a uma curva dada por uma relação entre
e
é dada pela derivada
num ponto de tangência. Para curvas definidas implicitamente, usa-se diferenciação implícita para obter
.
Aplicando diferenciação implícita à elipse:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Simplificando:
Isolando
:
Calculando a fração:
Portanto a inclinação da tangente em um ponto
da elipse é
Passo 3
Como queremos tangentes com inclinação
, igualamos a derivada a
:
Resolvendo:
Assim todo ponto de tangência procurado deve satisfazer
e a equação da elipse simultaneamente.
Passo 4
Substituímos
na equação da elipse:
Calculemos termo a termo:
Logo
Com
obtemos
Portanto os pontos de tangência são
e
.
Passo 5
Agora escrevemos a equação da reta com inclinação
que passa por cada ponto usando a forma ponto-inclinação
.
Para
com
:
Simplificando:
Para
com
:
Simplificando:
Verificação final (rápida): ambas as retas têm coeficiente angular
, o que as torna perpendiculares à reta dada cujo coeficiente é
. Além disso cada uma passa por um ponto da elipse, portanto são tangentes.