\mathrm{PP}_{11} Determine as equações das retas tangentes à elipse \frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{5}=1 e perpendiculares à reta 2 x-2 y-13=0. Resp.: x+y \pm 5=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse
\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{5}=1
e pede as equações das retas tangentes a essa elipse que sejam perpendiculares à reta
2x-2y-13=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A reta dada pode ser escrita como y=x-\tfrac{13}{2}, logo seu coeficiente angular (inclinação) é m_{\text{dada}}=1.
  • Retas perpendiculares a essa devem ter coeficiente angular m_{\perp} tal que m_{\text{dada}}\cdot m_{\perp}=-1. Portanto o coeficiente angular procurado é m_{\perp}=-1.
    O que precisamos encontrar: as retas tangentes à elipse cujo coeficiente angular (da reta tangente) seja -1.

Passo 2

Conceito usado: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente a uma curva dada por uma relação entre x e y é dada pela derivada y'=\dfrac{dy}{dx} num ponto de tangência. Para curvas definidas implicitamente, usa-se diferenciação implícita para obter y'.
Aplicando diferenciação implícita à elipse:
\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{5}=1.
Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{2x}{20}+\frac{2y}{5}\,y'=0.
Simplificando:
\frac{x}{10}+\frac{2y}{5}\,y'=0.
Isolando y':
y'=-\frac{\dfrac{x}{10}}{\dfrac{2y}{5}}.
Calculando a fração:
y'=-\frac{x}{10}\cdot\frac{5}{2y}=-\frac{x}{4y}.
Portanto a inclinação da tangente em um ponto (x,y) da elipse é
y'=-\frac{x}{4y}.

Passo 3

Como queremos tangentes com inclinação m_{\perp}=-1, igualamos a derivada a -1:
-\frac{x}{4y}=-1.
Resolvendo:
\frac{x}{4y}=1\quad\Rightarrow\quad x=4y.
Assim todo ponto de tangência procurado deve satisfazer x=4y e a equação da elipse simultaneamente.

Passo 4

Substituímos x=4y na equação da elipse:
\frac{(4y)^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{5}=1.
Calculemos termo a termo:
\frac{16y^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{5}=\frac{4y^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{5}=\frac{5y^{2}}{5}=y^{2}.
Logo
y^{2}=1\quad\Rightarrow\quad y=\pm 1.
Com x=4y obtemos
x=\pm 4.
Portanto os pontos de tangência são (4,1) e (-4,-1).

Passo 5

Agora escrevemos a equação da reta com inclinação -1 que passa por cada ponto usando a forma ponto-inclinação y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Para (4,1) com m=-1:
y-1=-1(x-4).
Simplificando:
y-1=-x+4\quad\Rightarrow\quad x+y-5=0.
Para (-4,-1) com m=-1:
y+1=-1(x+4).
Simplificando:
y+1=-x-4\quad\Rightarrow\quad x+y+5=0.
Verificação final (rápida): ambas as retas têm coeficiente angular -1, o que as torna perpendiculares à reta dada cujo coeficiente é 1. Além disso cada uma passa por um ponto da elipse, portanto são tangentes.

Resposta

x+y-5=0
x+y+5=0

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