Calcule a integral de linha, onde C ć a curva dada.
\int_{c}(2 x+9 z) d s, \quad C: x=t, \quad y=t^{2}, z=t, 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C} (2x+9z)\,ds,
onde a curva C é dada pela parametrização
x=t,\qquad y=t^{2},\qquad z=t,\qquad 0\le t\le 1.
Informações relevantes dadas:
  • A função escalar ao longo da curva é f(x,y,z)=2x+9z.
  • A parametrização do espaço é \mathbf{r}(t)=(t,\,t^{2},\,t) com t variando em [0,1].
  • A variável de integração será t no intervalo [0,1].

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática): a integral de linha de uma função escalar f ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), a\le t\le b, é
\int_{C} f\,ds=\int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt.
Aqui:
  • \mathbf{r}'(t) é o vetor derivada (vetor tangente) da curva; ele dá a velocidade da parametrização.
  • \big\|\mathbf{r}'(t)\big\| é a norma (comprimento) desse vetor; ela representa o fator de alongamento ds/dt, ou seja, quanto comprimento de curva corresponde a uma variação dt.
    Essa fórmula transforma a integral sobre a curva em uma integral usual em t.

Passo 3

Aplicando a parametrização na função f. Como x=t e z=t, temos
f(\mathbf{r}(t))=2x+9z=2t+9t=11t.

Passo 4

Calcular \mathbf{r}'(t) e sua norma. A parametrização é \mathbf{r}(t)=(t,\,t^{2},\,t), logo
\mathbf{r}'(t)=(1,\,2t,\,1).
A norma é
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{1^{2}+(2t)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}+1}=\sqrt{2+4t^{2}}.
Podemos fatorar \sqrt{2} se quisermos:
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{2}\,\sqrt{1+2t^{2}}.

Passo 5

Montar a integral usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C}(2x+9z)\,ds=\int_{0}^{1} \big(11t\big)\,\sqrt{2+4t^{2}}\,dt.
Ou seja,
\int_{0}^{1} 11t\sqrt{2+4t^{2}}\,dt.

Passo 6

Resolver a integral por substituição. Note a presença de t multiplicando uma função de t^{2}; uma boa substituição é
u=1+2t^{2}.
Então
du=4t\,dt\quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{4}.
Quando t=0 temos u=1. Quando t=1 temos u=1+2\cdot1^{2}=3.
Também reescrevemos \sqrt{2+4t^{2}}=\sqrt{2}\,\sqrt{1+2t^{2}}=\sqrt{2}\,\sqrt{u}.
Substituindo tudo na integral:
\int_{0}^{1} 11t\sqrt{2+4t^{2}}\,dt = \int_{u=1}^{u=3} 11\cdot\sqrt{2}\,\sqrt{u}\cdot\frac{du}{4}.

Passo 7

Fatorar constantes e integrar:
\int_{u=1}^{u=3} 11\sqrt{2}\,\frac{1}{4}\,u^{1/2}\,du = \frac{11\sqrt{2}}{4}\int_{1}^{3} u^{1/2}\,du.
Integral de u^{1/2} é \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Então
\frac{11\sqrt{2}}{4}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{3} = \frac{11\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{2}{3}\,\big(3^{3/2}-1^{3/2}\big).

Passo 8

Simplificar os fatores:
\frac{11\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{11\sqrt{2}}{6}.
E 3^{3/2}=3\sqrt{3}. Assim a expressão fica
\frac{11\sqrt{2}}{6}\,(3\sqrt{3}-1).
Multiplicando \sqrt{2} por 3\sqrt{3} 3\sqrt{6}, e por 1 \sqrt{2}, portanto uma forma alternativa é
\frac{11}{6}\,\big(3\sqrt{6}-\sqrt{2}\big).

Resposta

\dfrac{11\sqrt{2}}{6}\,(3\sqrt{3}-1)=\dfrac{11}{6}\,(3\sqrt{6}-\sqrt{2})

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