Calcule a integral de linha, onde C ć a curva dada. \int_{c}(2 x+9 z) d s, \quad C: x=t, \quad y=t^{2}, z=t, 0 \leqslant t \leqslant 1
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C} (2x+9z)\,ds,
onde a curva C é dada pela parametrização
x=t,\qquad y=t^{2},\qquad z=t,\qquad 0\le t\le 1.
Informações relevantes dadas:
A função escalar ao longo da curva é f(x,y,z)=2x+9z.
A parametrização do espaço é \mathbf{r}(t)=(t,\,t^{2},\,t) com t variando em [0,1].
A variável de integração será t no intervalo [0,1].
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática): a integral de linha de uma função escalar f ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), a\le t\le b, é
\mathbf{r}'(t) é o vetor derivada (vetor tangente) da curva; ele dá a velocidade da parametrização.
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\| é a norma (comprimento) desse vetor; ela representa o fator de alongamento ds/dt, ou seja, quanto comprimento de curva corresponde a uma variação dt.
Essa fórmula transforma a integral sobre a curva em uma integral usual em t.
Passo 3
Aplicando a parametrização na função f. Como x=t e z=t, temos
f(\mathbf{r}(t))=2x+9z=2t+9t=11t.
Passo 4
Calcular \mathbf{r}'(t) e sua norma. A parametrização é \mathbf{r}(t)=(t,\,t^{2},\,t), logo