Use o método do Problema 9 para resolver as equações seguintes, dado que \mathbf{y}_{1}=\mathbf{x} é uma solução para cada uma delas.
y^{\prime}+2 x y=1+x{2}+y{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
y' + 2x\,y = 1 + x^2 + y^2
e informa que y_1(x)=x é uma solução particular. Para resolver a Riccati quando se conhece uma solução particular, usamos a mudança
y = y_1 + \frac{1}{u},
que reduz a Riccati a uma equação de primeira ordem em u.

Passo 2

Seja
y = x + \frac{1}{u(x)}.
Calculando a derivada,
y' = \frac{d}{dx}\Bigl(x + \frac{1}{u}\Bigr) = 1 - \frac{u'}{u^2}.

Passo 3

Substituindo y e y' na equação original,
\bigl(1 - \tfrac{u'}{u^2}\bigr) + 2x\Bigl(x + \tfrac{1}{u}\Bigr) = 1 + x^2 + \Bigl(x + \tfrac{1}{u}\Bigr)^2.
No lado esquerdo aparece 1 + 2x^2 + 2x/u - u'/u^2 e no direito 1 + 2x^2 + 2x/u + 1/u^2. Cancelando 1, 2x^2 e 2x/u, obtemos
-\frac{u'}{u^2} = \frac{1}{u^2}.

Passo 4

A igualdade acima implica
u' = -1.

Passo 5

Integramos u' = -1 para obter
u(x) = -x + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Voltando a y,
y(x) = x + \frac{1}{u(x)} = x + \frac{1}{C - x}.

Resposta

y(x) = x + \frac{1}{C - x},
onde C é constante de integração.

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