Use o método do Problema 9 para resolver as equações seguintes, dado que
é uma solução para cada uma delas.
y^{\prime}+2 x y=1+x{2}+y{2}
y^{\prime}+2 x y=1+x{2}+y{2}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Riccati
e informa que
é uma solução particular. Para resolver a Riccati quando se conhece uma solução particular, usamos a mudança
que reduz a Riccati a uma equação de primeira ordem em
.
Passo 2
Seja
Calculando a derivada,
Passo 3
Substituindo
e
na equação original,
No lado esquerdo aparece
e no direito
. Cancelando
,
e
, obtemos
Passo 4
A igualdade acima implica
Passo 5
Integramos
para obter
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Voltando a
,
Resposta
onde
é constante de integração.