Encontre a solução geral da seguinte equaçăo y^{\prime}=\frac{2 x-y}{y}. Encontre, em seguida, a soluçăo que satisfaz a condiçăo inicial y(0)=3.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de primeira ordem
y' = \frac{2x - y}{y}
e depois a solução que satisfaz a condição inicial y(0)=3.
Note que o lado direito depende de x e y apenas na razão y/x, indicando que se trata de uma equação homogênea. Vamos usar a substituição padrão para EDOs homogêneas.

Passo 2

Fazemos a troca de variáveis
y = v\,x,
onde v é função de x. Logo
\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na ODE original \displaystyle y'=\frac{2x-y}{y} obtemos
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2x - v x}{v x} = \frac{2 - v}{v}.

Passo 3

Isolamos o termo com dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v}{v} - v = \frac{2 - v - v^2}{v} = -\frac{v^2 + v - 2}{v} = -\frac{(v+2)(v-1)}{v}.
Portanto a equação fica separável:
-\frac{v}{(v+2)(v-1)}\,dv = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Para o lado esquerdo fazemos decomposição em frações parciais:
-\frac{v}{(v+2)(v-1)} = \frac{A}{v+2} + \frac{B}{v-1},
com
A+B=-1,\quad -A+2B=0 \;\Longrightarrow\; A=-\tfrac{2}{3},\;B=-\tfrac{1}{3}.
Logo
\int -\frac{v}{(v+2)(v-1)}\,dv = -\frac{2}{3}\int\frac{dv}{v+2} -\frac{1}{3}\int\frac{dv}{v-1} = -\tfrac{2}{3}\ln|v+2|-\tfrac{1}{3}\ln|v-1|.
O lado direito dá \displaystyle\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.

Passo 5

Reescrevendo o resultado da integração,
-\tfrac{2}{3}\ln|v+2|-\tfrac{1}{3}\ln|v-1|=\ln|x|+C.
Multiplicando por -3 e exponenciando, chega-se à forma implícita da solução geral:
(v+2)^2(v-1)=K\,x^{-3},
onde K=e^{-3C} é constante arbitrária. Voltando a y=v x, temos
\biggl(\frac{y+2x}{x}\biggr)^2\!\Bigl(\frac{y-x}{x}\Bigr) =K\,x^{-3} \quad\Longrightarrow\quad (y+2x)^2\,(y - x)=K.

Passo 6

Para a solução particular usamos y(0)=3. No lado esquerdo, em x=0, fica (3+0)^2(3-0)=9\cdot3=27. Logo K=27. A solução que satisfaz a condição inicial é
(y+2x)^2\,(y - x)=27.

Resposta

Solução geral implícita:
(y+2x)^2\,(y - x)=C,\quad C\in\mathbb{R}.
Solução particular com y(0)=3:
(y+2x)^2\,(y - x)=27.

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