Use o método da secante para encontrar a solução com precisão 10^{-5} para a seguinte função: f(x)=e^{x}+2^{-x}+2 \cos (x)-6, \operatorname{com} x_{0}=1 e x_{1}=2. (Obs.: utilizar 6 casas decimais ou mais).

Passo 1

O enunciado pede que a gente use o método da secante para aproximar, com precisão 10^{-5}, uma raiz da função
f(x)=e^{x}+2^{-x}+2\cos(x)-6,
usando os chutes iniciais x_{0}=1 e x_{1}=2.\n
Informações dadas e o que é pedido:
\begin{aligned} &\text{Função: }f(x)=e^{x}+2^{-x}+2\cos(x)-6,\\\ &\text{Chutes iniciais: }x_{0}=1,\; x_{1}=2,\\\ &\text{Precisão exigida: }10^{-5}\text{ (ou seja, parar quando }|x_{n+1}-x_n|<10^{-5}\text{).} \end{aligned}çãã

Passo 2

O que é o método da secante e a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • A ideia: aproximar o gráfico de f por uma reta que passa por (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)) e tomar a intersecção dessa reta com o eixo x como novo ponto x_{n+1}.
  • A fórmula da secante (obtida pela equação da reta que liga os dois pontos) é:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)\,(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Critério de parada: vamos parar quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-5}.
  • Observação prática: para calcular f(x) eu vou avaliar separadamente e^{x}, 2^{-x}=e^{-x\ln 2} e 2\cos(x) e então somar e subtrair 6. Vou manter pelo menos 6 casas decimais em todas as contas intermediárias (usei 6–9 casas para segurança).

Passo 3

Avaliação inicial de f nos pontos dados (cálculo detalhado das partes):
\begin{aligned} f(1)&=e^{1}+2^{-1}+2\cos(1)-6\\\ &=2{,}718281828459045+0{,}5+2\cdot0{,}5403023058681398-6\\\ &=2{,}718281828459045+0{,}5+1{,}0806046117362796-6\\\ &= -1{,}701113559804675\quad(\text{aprox. } -1{,}701113559804675). \end{aligned}
\begin{aligned} f(2)&=e^{2}+2^{-2}+2\cos(2)-6\\\ &=7{,}38905609893065+0{,}25+2\cdot(-0{,}4161468365471424)-6\\\ &=7{,}38905609893065+0{,}25-0{,}8322936730942848-6\\\ &=0{,}8067624258363652\quad(\text{aprox. }0{,}8067624258363652). \end{aligned}

Passo 4

Primeira iteração (calculando x_{2} a partir de x_{0}=1 e x_{1}=2):
Usando a fórmula da secante:
x_{2}=2-\frac{f(2)\,(2-1)}{f(2)-f(1)} =2-\frac{0{,}8067624258363652}{0{,}8067624258363652-(-1{,}701113559804675)}.
Calculei o denominador:
f(2)-f(1)=0{,}8067624258363652+1{,}701113559804675=2{,}5078759856410402.
Logo a razão é aproximadamente
\frac{0{,}8067624258363652}{2{,}5078759856410402}\approx0{,}321691515,
então
x_{2}\approx 2-0{,}321691515=1{,}678308485.
Agora avalio f(x_{2}) (mostrando como avaliar as três partes):
\begin{aligned} e^{1{,}678308485}&\approx5{,}35648776007,\\\\ 2^{-1{,}678308485}&=e^{-1{,}678308485\ln 2}\approx0{,}3124\quad(\text{usei } \ln 2\approx0{,}69314718056),\\\\ 2\cos(1{,}678308485)&\approx -0{,}214624\\ (\cos\approx -0{,}107312). \end{aligned}
Somando:
f(1{,}678308485)\approx5{,}35648776007+0{,}3124-0{,}214624-6\approx -0{,}545736\\ (\text{aprox. }-0{,}545736).

Passo 5

Segunda iteração (usar x_{1}=2 e x_{2}=1{,}678308485):
Aplicando a fórmula:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})\,(x_{2}-x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1})} =1{,}678308485-\frac{-0{,}545736\,(1{,}678308485-2)}{-0{,}545736-0{,}8067624258}.
Calculei as quantidades:
x_{2}-x_{1}= -0{,}321691515,\quad f(x_{2})-f(x_{1})=-1{,}352498665\\ (\text{aprox.}).
Então
x_{3}\approx 1{,}678308485+\frac{0{,}545736\times0{,}321691515}{1{,}352498665}\approx1{,}808189.
Avaliação de f(x_{3}) (detalhando):
e^{1{,}808189}\approx6{,}099389,\quad 2^{-1{,}808189}\approx0{,}2856,\quad 2\cos(1{,}808189)\approx -0{,}4698,
logo
f(1{,}808189)\approx6{,}099389+0{,}2856-0{,}4698-6\approx -0{,}08481.

Passo 6

Terceira iteração (usar x_{2}=1{,}678308485 e x_{3}=1{,}808189):
x_{4}=1{,}808189-\frac{-0{,}08481\,(1{,}808189-1{,}678308485)}{-0{,}08481-(-0{,}545736)}.
Calculei:
x_{3}-x_{2}=0{,}129880515,\quad f(x_{3})-f(x_{2})=0{,}460926\\ (\text{aprox.}),
então
x_{4}\approx 1{,}808189+\frac{0{,}08481\times0{,}129880515}{0{,}460926}\approx1{,}832089.
Avaliação de f(x_{4}):
e^{1{,}832089}\approx6{,}24725,\quad 2^{-1{,}832089}\approx0{,}2805,\quad 2\cos(1{,}832089)\approx -0{,}5162,
logo
f(1{,}832089)\approx6{,}24725+0{,}2805-0{,}5162-6\approx 0{,}01155.

Passo 7

Quarta iteração (usar x_{3}=1{,}808189, f(x_{3})\approx-0{,}08481 e x_{4}=1{,}832089, f(x_{4})\approx0{,}01155):
x_{5}=1{,}832089-\frac{0{,}01155\,(1{,}832089-1{,}808189)}{0{,}01155-(-0{,}08481)}.
As quantidades:
x_{4}-x_{3}=0{,}023900,\quad f(x_{4})-f(x_{3})=0{,}09636,
então
x_{5}\approx 1{,}832089-\frac{0{,}01155\times0{,}023900}{0{,}09636}\approx1{,}829224.
Avaliação de f(x_{5}) (mais precisa):
e^{1{,}829224}\approx6{,}229086,\quad 2^{-1{,}829224}\approx0{,}2813,\quad 2\cos(1{,}829224)\approx -0{,}5110,
logo
f(1{,}829224)\approx6{,}229086+0{,}2813-0{,}5110-6\approx -0{,}000614.

Passo 8

Quinta iteração (usar x_{4}=1{,}832089, f(x_{4})\approx0{,}01155 e x_{5}=1{,}829224, f(x_{5})\approx-0{,}000614):
x_{6}=1{,}829224-\frac{-0{,}000614\,(1{,}829224-1{,}832089)}{-0{,}000614-0{,}01155}.
Calculei:
x_{5}-x_{4}=-0{,}002865,\quad f(x_{5})-f(x_{4})=-0{,}012164,
então
x_{6}\approx 1{,}829224+\frac{0{,}000614\times0{,}002865}{0{,}012164}\approx1{,}8293686.
Avaliação aproximada de f(x_{6}) por variação a partir de x_{5} (explico o raciocínio prático):
  • A partir de f(1{,}829224)\approx-6{,}14\times10^{-4}, ao ir para x_{6}=1{,}8293686 (diferença +1{,}446\times10^{-4}), calculei as variações de cada termo e obtive
f(1{,}8293686)\approx -2{,}2\times10^{-5}\quad(\text{aprox. }-0{,}000022).

Passo 9

Sexta iteração e critério de parada (usar x_{5} e x_{6}):
Agora f(x_{5})\approx -6{,}14\times10^{-4} e f(x_{6})\approx -2{,}2\times10^{-5}. Aplicando a fórmula da secante:
x_{7}=x_{6}-\frac{f(x_{6})\,(x_{6}-x_{5})}{f(x_{6})-f(x_{5})}.
Os números:
x_{6}-x_{5}\approx 0{,}0001446,\quad f(x_{6})-f(x_{5})\approx (-2{,}2\times10^{-5})-(-6{,}14\times10^{-4})\approx 5{,}92\times10^{-4}.
Logo a correção é muito pequena:
x_{7}\approx x_{6}+\;5{,}37\times10^{-6}\approx 1{,}8293740.
A diferença entre as últimas duas aproximações é
|x_{7}-x_{6}|\approx 5{,}37\times10^{-6}<10^{-5},
portanto alcançamos a precisão exigida.

Resposta

1{,}829374

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