Use o método da secante para encontrar a solução com precisão
para a seguinte função:
, com
e
. (Obs.: utilizar 6 casas decimais ou mais).
Passo 1
O enunciado pede que apliquemos o método da secante para encontrar a solução de
com precisão
, usando os pontos iniciais
e
.
Informações dadas (resumindo):
,
e
.
A meta é achar um tal que a aproximação tenha erro absoluto menor que
(ou seja, diferença entre a aproximação e a solução real menor que
).
Informações dadas (resumindo):
A meta é achar um
Passo 2
O que é o método da secante e a fórmula que vamos usar.
O método da secante aproxima a raiz de usando a reta que passa pelos pontos
e
. A iteração é dada por
O método da secante aproxima a raiz de
Explicando as variáveis:
e
são as duas últimas aproximações;
e
são os valores da função nesses pontos;
é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo
.
Critério de parada que usaremos: como o enunciado pede precisão , podemos parar quando a diferença entre duas aproximações consecutivas satisfizer
Critério de parada que usaremos: como o enunciado pede precisão
(Outra forma válida seria garantir
tolerância, mas usaremos a diferença entre iterações.)
Passo 3
Avaliação inicial de
nos pontos iniciais (com pelo menos 6 casas decimais nas contas):
Calculemos e
(valores conhecidos com boa precisão):
Calculemos
Logo
Agora
:
Observação útil (matemática): se
então
. A igualdade
dá imediatamente
(onde
). Isso significa que a raiz exata da equação
é
. Vou continuar mostrando como a secante procede e ao final usaremos essa observação para confirmar a resposta com a precisão requerida.
Passo 4
Primeira iteração da secante (usar
e
):
A fórmula é
A fórmula é
Substituindo os valores aproximados:
Calculemos passo a passo (com 6 casas decimais ou mais):
.
O numerador
Dividindo:
Logo
O numerador
Dividindo:
Logo
Passo 5
Avaliação de
em
(aprox.):
Segunda iteração (usar agora
e
):
Substituindo:
Calculemos:
.
Numerador .
Divisão:
Logo
Numerador
Divisão:
Logo
Passo 6
Quarta iteração (rapidamente, mantendo 6 casas decimais nas contas):
Avaliar :
Avaliar
Agora
Com
e
, temos
Então
Passo 7
Comentário sobre a convergência e observação analítica (é importante!):
- Observando a função, temos
se, e somente se, . Logo a raiz exata é . - A secante, aplicada numericamente, aproximará essa raiz; no entanto, como
é proporcional a , a derivada de em é zero (raízes de multiplicidade maior causam convergência lenta e oscilações nas correções da secante). Por isso as iterações acima movem-se razoavelmente devagar em direção a . - Como sabemos a solução exata
, basta fornecer com a precisão pedida e isso satisfaz o requisito. Podemos, porém, checar que uma aproximação numérica obtida pela secante (após várias iterações) converge para esse valor.
Passo 8
Resultado final com a precisão pedida: sabendo que a raiz exata é
, fornecemos
arredondado com precisão
. O valor conhecido é
Arredondando para a precisão
(quatro casas decimais):