Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDO’s.
i) y^{\prime}=e^{x-2 y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial
y' = e^{x - 2y}.
O conteúdo é EDO separável: precisamos escrever todos os termos em y de um lado e em x do outro e depois integrar.

Passo 2

Escrevemos y'=\frac{dy}{dx} e separamos as variáveis:
\frac{dy}{dx} = e^x\,e^{-2y} \quad\Longrightarrow\quad e^{2y}\,dy = e^x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int e^{2y}\,dy = \int e^x\,dx
\frac{1}{2}e^{2y} = e^x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolamos y. Primeiro multiplicamos por 2 e introduzimos outra constante C_1=2C:
e^{2y} = 2\,e^x + C_1.
Agora aplicamos logaritmo natural:
2y = \ln\bigl(2e^x + C_1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{2}\ln\bigl(2e^x + C_1\bigr).

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{1}{2}\ln\bigl(2e^x + C\bigr),}
onde C é constante arbitrária.

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