Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDO’s.
g) y y^{\prime}=x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO \,y\,y' = x\ usando o método de separação de variáveis. Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem, em que podemos isolar as variáveis x e y em lados opostos.

Passo 2

Escrevemos y' = \dfrac{dy}{dx} e reescrevemos a equação como
y \,\frac{dy}{dx} = x,
de onde separamos as variáveis:
y \,dy = x \,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y \,dy = \int x \,dx
\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C.

Passo 4

Multiplicando por 2 e redefinindo a constante C_1 = 2C, obtemos
y^2 = x^2 + C_1.
Para explicitar y, tiramos raiz:
y(x) = \pm \sqrt{x^2 + C_1}.

Resposta

A solução geral pode ser apresentada como
y^2 - x^2 = C
ou, de forma explícita,
y(x) = \pm \sqrt{x^2 + C},
onde C é uma constante arbitrária.

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