Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDO’s.
r) x^{2} y^{2} y^{\prime}=1+x^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x^{2}y^{2}y' = 1 + x^{2},
onde y'=dy/dx. O método sugerido é o de separação de variáveis, no qual agrupamos termos com y e dy de um lado, e termos com x e dx do outro.

Passo 2

Escrevemos y' como \frac{dy}{dx} e isolamos os diferenciais:
x^{2}y^{2}\,\frac{dy}{dx} = 1 + x^{2} \quad\Longrightarrow\quad y^{2}\,dy = \frac{1 + x^{2}}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Simplificamos o lado direito separando em parcelas mais simples:
\frac{1 + x^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + 1,
logo a equação fica
y^{2}\,dy = \Bigl(1 + x^{-2}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
\int y^{2}\,dy = \int \bigl(1 + x^{-2}\bigr)\,dx.
No lado esquerdo
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3},
e no direito
\int 1\,dx = x, \qquad \int x^{-2}\,dx = -\,\frac{1}{x}.
Portanto
\frac{y^{3}}{3} = x - \frac{1}{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicamos por 3 e isolamos y:
y^{3} = 3x - \frac{3}{x} + C_{1},
sendo C_{1}=3C outra constante arbitrária. Finalmente,
y = \biggl(3x - \frac{3}{x} + C_{1}\biggr)^{\!\tfrac{1}{3}}.

Resposta

y = \biggl(3x - \frac{3}{x} + C_{1}\biggr)^{\!\tfrac{1}{3}},
onde C_{1} é constante de integração.

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