Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDO’s.
q) x y^{\prime}=\sqrt{1-y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de primeira ordem
x\,y' = \sqrt{1 - y^{2}}
usando o método de separação de variáveis. Aqui o conteúdo é EDOs separáveis: vamos reescrever a derivada e separar as variáveis x e y.

Passo 2

Escrevemos a derivada explicitamente e isolamos termos em y de um lado e em x do outro:
y' = \frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x}.
Agora separamos:
\frac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \frac{dx}{x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \int \frac{dx}{x}.
Sabemos que
\int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \arcsin(y) \quad\text{e}\quad \int \frac{dx}{x} = \ln\lvert x\rvert + C_{1}.
Logo
\arcsin(y) = \ln\lvert x\rvert + C_{1}.

Passo 4

Isolamos y aplicando o seno em ambos os lados:
y = \sin\bigl(\ln\lvert x\rvert + C_{1}\bigr).
Podemos escrever C_{1} como uma constante geral C, obtendo a solução geral.

Resposta

y(x) = \sin\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr),
onde C é constante de integração.

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