Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de (g) (Corda sujeita à ação de uma força dissipativa)
ut t=c^2 ux x-2 b ut & se 00, b>0 u(0, t)=0, u(L, t)=0 & se t >= 0 u(x, 0)=f(x), ut(x, 0)=g(x) & se 0 <= x <= L

Passo 1

O enunciado apresenta a EDP amortecida utt=c^2uxx-2b,ut em 0, com contorno Dirichlet u(0,t)=u(L,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x). O conteúdo é a equação da onda com amortecimento linear, e vamos precisar de separação de variáveis, equações de Sturm–Liouville para o espaço e resolução de EDOs para o tempo, além de séries de Fourier para ajustar as condições iniciais.

Passo 2

Assumimos a forma separável u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na EDP e dividindo por c^2X(x)T(t) obtemos
X''(x)X(x)=T''(t)+2bT'(t)c^2T(t)=-lambda

Passo 3

A condição de contorno X(0)=X(L)=0 leva ao problema de Sturm–Liouville. As autovalores e autovetores são
lambdan=l(npiLr)^2, Xn(x)=sinnpi xL, n=1,2,3,dots

Passo 4

Para cada n a parte temporal satisfaz
Tn''(t)+2bTn'(t)+c^2lambdanTn(t)=0

Passo 5

A equação característica r^2+2br+c^2lambdan=0 tem raízes
r=-bpm i,omegan,omegan=raizc^2l(npiLr)^2 - b^2

Passo 6

Logo, a solução temporal é
Tn(t)=e^-btl(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)

Passo 7

A solução geral em série fica
u(x,t)=sumn=1^infty e^-btl(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r) sinnpi xL

Passo 8

Aplicando u(x,0)=f(x) obtemos
f(x)=sumn=1^infty Ansinnpi xL, onde
An=2Lintegral0^L f(x)sinnpi xL,dx

Passo 9

Para ut(x,t) derivamos em t e, avaliando em t=0,
ut(x,0)=sumn=1^inftyl(-bAn +Bnomeganr)sinnpi xL=g(x) Denotando
$$
g_n=\frac{2}{L}\int_0^L g(x)\sin\frac{n\pi x}{L},dx,$$ temos
gn=2Lintegral0^L g(x)sinnpi xL,dx,

Resposta

A solução do problema é
a série
u(x,t)=sumn=1^infty e^-btl(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r) sinnpi xL,
com
An=2Lintegral0^L f(x)sinnpi xL,dx, Bn=1omeganl(2Lintegral0^L g(x)sinnpi xL,dx +bAnr),
e
omegan=raizc^2l(npiLr)^2 - b^2

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