Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de (g) (Corda sujeita à ação de uma força dissipativa)
Passo 1
O enunciado apresenta a EDP amortecida utt=c^2uxx-2b,ut em 0, com contorno Dirichlet u(0,t)=u(L,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x). O conteúdo é a equação da onda com amortecimento linear, e vamos precisar de separação de variáveis, equações de Sturm–Liouville para o espaço e resolução de EDOs para o tempo, além de séries de Fourier para ajustar as condições iniciais.
Passo 2
Assumimos a forma separável u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na EDP e dividindo por c^2X(x)T(t) obtemos
X''(x)X(x)=T''(t)+2bT'(t)c^2T(t)=-lambda
Passo 3
A condição de contorno X(0)=X(L)=0 leva ao problema de Sturm–Liouville. As autovalores e autovetores são
lambdan=l(npiLr)^2, Xn(x)=sinnpi xL, n=1,2,3,dots
Passo 4
Para cada n a parte temporal satisfaz
Tn''(t)+2bTn'(t)+c^2lambdanTn(t)=0
Passo 5
A equação característica r^2+2br+c^2lambdan=0 tem raízes