Calcule:
(a) lim x 0 cos (xsen x-2 x)
(b) lim x 0 sen(cos (pi2-3 x)x).

Passo 1

Nesse exercício temos dois limites em 0 envolvendo funções trigonométricas; vamos usar séries de Taylor e identidades trigonométricas para resolvê-los.

Passo 2

Para (a), usamos a expansão de Taylor da função seno até a ordem 3:
sin,x = x - x^36 + o(x^3)

Passo 3

Calculamos então
sin x - 2x = l(x - x^36 + o(x^3)r) - 2x = -x - x^36 + o(x^3)

Passo 4

Isso nos permite avaliar a fração
xsin x - 2x = x-x - tfracx^36 + o(x^3) = -11 + tfracx^26 + o(x^2) = -1 + o(1)
Como cos é contínua, o limite de cosl(xsin x - 2xr) quando xto0 é
cos(-1) = cos 1

Passo 5

Para (b), aplicamos a identidade trigonométrica
cosl(pi2 - 3xr) = sin(3x)

Passo 6

Logo
cos(tfracpi2 - 3x)x = sin(3x)x
Usamos a expansão
sin(3x) = 3x - (3x)^36 + o(x^3),
portanto
sin(3x)x = 3 - 27x^26 + o(x^2) = 3 + o(1)

Passo 7

Como sin é contínua,
limxto0 sinl(cos(tfracpi2 - 3x)xr) = sin(3)

Resposta

(a) cos 1, (b) sin 3

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