Use o método de séries de potências para resolver as EDO’s (Procure soluções em séries centradas em
):
(Equação de Legendre - fundamental para a descrição e resolução de diversos problemas em física e engenharia, particularmente em áreas que envolvem campos potencial, como eletricidade e gravidade)
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva, por séries de potências centradas em
, a equação
Informações dadas e o que se pede:
- Temos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em
. - Queremos soluções em séries de potências centradas em
, isto é, expressar como uma série em potências de . - Precisamos obter a relação entre os coeficientes da série (recorrência), caracterizar as duas soluções lineares independentes (uma par e outra ímpar) e identificar o caso especial em que a série termina (polinômios de Legendre).
Passo 2
Assumimos a solução em série de potências centrada em
:
onde
são constantes a determinar. Agora calculamos as derivadas necessárias termo a termo (fórmula padrão para derivada de séries de potências):
Essas formas com índice começando em
são convenientes para combinar potências iguais de
após substituição na EDO.
Passo 3
Substituímos
na equação
. Fazendo isso termo a termo:
Somando tudo e reorganizando por potências
(observando que os somatórios que começam em
ou
não contribuem para os índices menores), o coeficiente de
deve ser zero para todos
. Isso dá a condição
Isolando
obtemos a recorrência central:
Vou repetir essa fórmula em palavras: cada coeficiente de ordem
é obtido multiplicando o coeficiente de ordem
por
.
Passo 4
Interpretação prática da recorrência e separação em par/ímpar (importante e útil na prova):
- A recorrência relaciona
com . Isso significa que os coeficientes de índices pares dependem apenas de , e os de índices ímpares dependem apenas de . Logo temos duas séries independentes:
onde
contém apenas potências pares (
) e
contém apenas potências ímpares (
). Essas duas séries formam uma base de soluções lineares independentes.
- Para ter mais intuição, calculemos os primeiros coeficientes em termos de
(série par) e (série ímpar):
- Série par (começa em
):
Portanto, até a ordem
,
- Série ímpar (começa em
):
Logo, até
,
Esses desenvolvimentos mostram claramente como montar termos na prova: calcule
a partir de
, depois
a partir de
, etc.; e o mesmo para a cadeia ímpar iniciada por
.
Passo 5
Caso especial importante (legenda que cai na prova): quando a série termina e obtemos um polinômio.
A recorrência tem fator numerador
. Se houver um inteiro
tal que
então para
o numerador é zero, isto é
. Assim
Mas então
também serão zero por recorrência (cada um depende do anterior nulo). Portanto a série termina e a solução torna-se um polinômio de grau
. Dependendo da paridade de
:
- se
é par, a série par (iniciada por ) pode terminar e gerar o polinômio de grau ; - se
é ímpar, a série ímpar (iniciada por ) pode terminar e gerar o polinômio de grau .
Esses polinômios são exatamente os polinômios de Legendre
(até uma escolha de normalização). Exemplos rápidos:
-
corresponde a . A série ímpar termina: , então , e . -
corresponde a . Então e a série par termina; com escolha adequada de obtemos . (Ex.: calculamos , então a série par é ; escolhendo dá .)
Passo 6
Resumo final do método e da solução geral que você deve escrever numa prova:
- A recorrência obtida pela série de potências é
- A solução geral em
(série centrada em ) é a combinação linear das duas séries independentes (par e ímpar):
onde os coeficientes
e
são obtidos pela recorrência acima a partir de
e
respectivamente (ou, de forma equivalente,
).
- Caso especial: se
com , então uma das séries (a de mesma paridade de ) termina e produz um polinômio de grau , o polinômio de Legendre (após normalização). Caso contrário, as duas séries são infinitas e convergem para .
Resposta
Se