Use o método de séries de potências para resolver as EDO’s (Procure soluções em séries centradas em x_{0}=0 ):
y^{\prime \prime}-\lambda x y=0 \quad(\lambda \in \mathbb{R}) (Equação de Airy - aparece na ótica física, na solução da equação de Schroedinger, nas ondas gravitacionais em superfícies de líquidos etc)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
y'' - \lambda x y = 0,
procurando soluções em séries de potências centradas em x_{0}=0. Aqui temos as informações importantes dadas:
  • A equação é \;y''-\lambda x y=0\; com \lambda\in\mathbb{R}.
  • Queremos soluções em série de potências centradas em 0, ou seja, soluções da forma \;y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\;.
  • Esperamos obter duas soluções linearmente independentes (porque a EDO é de segunda ordem), fornecidas por constantes arbitrárias que aparecerão nos coeficientes iniciais da série.
A partir daqui vamos desenvolver a técnica de séries de potências passo a passo: assumir série para y, calcular y'', substituir na equação, igualar coeficientes de potências iguais de x e derivar uma recorrência para os coeficientes a_n. Depois construiremos explicitamente as duas séries independentes e comentaremos convergência e interpretação.

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são constantes a determinar. Agora calculamos as derivadas necessárias: a primeira derivada é a série obtida derivando termo a termo e a segunda derivada igual:
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n},
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.
Explicando: ao reindexar, escrevemos sempre as séries na forma \sum_{n=0}^\infty (\cdots) x^n para poder comparar coeficientes em cada potência x^n. No resultado para y'', o coeficiente em x^n é (n+2)(n+1)a_{n+2}.

Passo 3

Substituímos y e y'' na equação \;y''-\lambda x y=0:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} \;-\; \lambda x \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \;=\;0.
O segundo termo é \lambda \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1}. Reescrevemos tudo como soma em potências x^n. Para o segundo termo, trocamos o índice n\mapsto n-1 (ou seja, escrevemos o coeficiente de x^n em função de a_{n-1}):
\lambda x \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \lambda \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n}.
Agora ambas séries estão na forma \sum_{n=0}^\infty (\cdots) x^n; para n=0 o segundo soma não contribui (porque começa em n=1). Igualando coeficientes de x^n para n\ge 0 obtemos a condição
(n+2)(n+1) a_{n+2} - \lambda a_{n-1} = 0,
onde interpretamos a_{-1}=0.

Passo 4

A recorrência encontrada é, portanto,
a_{n+2} = \frac{\lambda}{(n+2)(n+1)}\, a_{n-1},\qquad n\ge 0,
com a_{-1}=0. Vamos calcular os primeiros coeficientes para perceber o padrão (isso é útil na prova):
  • Para n=0: a_2 = \dfrac{\lambda}{2\cdot1}\,a_{-1}=0. Logo a_2=0.
  • Para n=1: a_3 = \dfrac{\lambda}{3\cdot2}\,a_0 = \dfrac{\lambda}{6} a_0.
  • Para n=2: a_4 = \dfrac{\lambda}{4\cdot3}\,a_1 = \dfrac{\lambda}{12} a_1.
  • Para n=3: a_5 = \dfrac{\lambda}{5\cdot4}\,a_2 = 0 (porque a_2=0).
  • Para n=4: a_6 = \dfrac{\lambda}{6\cdot5}\,a_3 = \dfrac{\lambda}{30} a_3 = \dfrac{\lambda^2}{30\cdot6} a_0 = \dfrac{\lambda^2}{180} a_0.
Observação importante (padrão): vemos que todos os coeficientes cujos índices são congruentes a 2 módulo 3 (ou seja, a_2,a_5,a_8,\dots) são zero. Os coeficientes dividem-se em duas sequências independentes: os a_{3k} expressos a partir de a_0 e os a_{3k+1} expressos a partir de a_1. Portanto as constantes livres são a_0 e a_1, como esperado para uma EDO de segunda ordem — a_0=y(0) e a_1=y'(0).

Passo 5

Agora vamos escrever as fórmulas gerais por iteração da recorrência. Observando que a recorrência “salta” de índice n-1 para n+2, ao aplicá-la sucessivamente vemos que os a's se ligam a saltos de tamanho 3. Para k\ge 0 obtemos:
  • Para a sequência que parte de a_0 (índices 0,3,6,\dots):
a_{3k} = a_0 \frac{\lambda^{k}}{\displaystyle\prod_{m=1}^{k} (3m)(3m-1)}.
Aqui a convenção é que o produto vazio (quando k=0) vale 1, portanto a_0 é o termo inicial.
  • Para a sequência que parte de a_1 (índices 1,4,7,\dots):
a_{3k+1} = a_1 \frac{\lambda^{k}}{\displaystyle\prod_{m=1}^{k} (3m+1)(3m)}.
Explicando a obtenção: cada aplicação da recorrência multiplica pelo fator \dfrac{\lambda}{(n+2)(n+1)}, e ao iterar k vezes substituímos n pelos valores adequados, o que produz o produto dos denominadores acima. Essas fórmulas podem ser comprovadas por indução simples aplicando a recorrência k vezes.

Passo 6

Agora escrevemos as duas séries independentes explícitas (escolhendo a_0=1,a_1=0 para a primeira solução e a_0=0,a_1=1 para a segunda). Assim obtemos uma base de soluções:
Primeira solução (par em potências de x^{3k}):
y_{1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{3k} x^{3k} =\sum_{k=0}^{\infty} \left( a_0 \frac{\lambda^{k}}{\displaystyle\prod_{m=1}^{k} (3m)(3m-1)} \right) x^{3k}.
Segunda solução (ímpar em potências x^{3k+1}):
y_{2}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{3k+1} x^{3k+1} =\sum_{k=0}^{\infty} \left( a_1 \frac{\lambda^{k}}{\displaystyle\prod_{m=1}^{k} (3m+1)(3m)} \right) x^{3k+1}.
Escrevendo os primeiros termos para ter sensação prática (tomando a_0=1,a_1=0 e vice-versa):
  • Para a solução iniciada em a_0:
y_{1}(x)=1+\frac{\lambda}{6}x^{3}+\frac{\lambda^{2}}{180}x^{6}+\frac{\lambda^{3}}{12960}x^{9}+\cdots.
  • Para a solução iniciada em a_1:
y_{2}(x)=x+\frac{\lambda}{12}x^{4}+\frac{\lambda^{2}}{504}x^{7}+\frac{\lambda^{3}}{45360}x^{10}+\cdots.
Observação útil para a prova: qualquer solução geral é combinação linear
y(x)=C_1 y_{1}(x) + C_2 y_{2}(x),
com C_1=a_0 e C_2=a_1.

Passo 7

Convergência e observações finais: as séries acima têm raio de convergência infinito. Intuição rápida (para usar numa prova): os denominadores dos coeficientes crescem como produto de termos lineares cuja quantidade cresce com k, essencialmente comparáveis a (3k)! até constantes, portanto os coeficientes decrescem mais rápido do que \dfrac{1}{(3k)!} e a série converge para todo x (teste da razão/Rapidez de decaimento). Assim as soluções obtidas são funções inteiras (analíticas em toda a reta), o que corresponde ao fato conhecido de que as funções de Airy são inteiras.
Comentário extra (só para contexto): as duas séries acima são, até mudanças de escala, as séries que definem as funções de Airy clássicas \mathrm{Ai} e \mathrm{Bi}. Não é necessário conhecer essas funções para a prova; o importante é que você saiba derivar as séries e escrever a solução geral como combinação linear das duas séries independentes.

Resposta

y(x)=C_1\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\lambda^{k}}{\displaystyle\prod_{m=1}^{k}(3m)(3m-1)}\right)x^{3k} + C_2\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\lambda^{k}}{\displaystyle\prod_{m=1}^{k}(3m+1)(3m)}\right)x^{3k+1},
onde C_1,C_2\in\mathbb{R} são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados