Use o método de séries de potências para resolver as EDO’s (Procure soluções em séries centradas em
):
(Equação de Hermite - aplicação na mecânica quântica)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede soluções em séries de potências centradas em
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- Queremos uma série em torno de
: uma solução da forma , com coeficientes a determinar. - A equação relaciona
com termos polinomiais em (aparecem fatores em e constantes). - O parâmetro
é um inteiro não negativo; isso costuma permitir que, para certos , a série termine e dê polinômios (caso típico da equação de Hermite).
O que se pede explicitamente: descobrir a relação entre coeficientes (recorrência), construir as duas soluções independentes em série (par/ímpar) e analisar o caso(quando aparecem polinômios).
Passo 2
Assumimos a solução em série de potências centrada em
. Vou explicar isso como se fosse passo a passo na prova: proposição inicial,
onde cada
é um número (constante) desconhecido que vamos determinar. Aqui
é o índice da série e
são as potências de
. Essa forma é natural porque derivando termos potenciais obtemos potências deslocadas que podemos igualar termo a termo.
Agora calculamos as derivadas necessárias, explicando cada passo:
Para trabalhar todas as somas com o mesmo expoente
, shift (mudar índice) é útil; escrevo
Isso vem de substituir
na soma original.
Em seguida,
Em seguida,
novamente trocando índice para ter potências
.
Passo 3
Substituímos
na equação e escrevemos todas as somas com potências
para comparar coeficientes de
.
A equação é
Usando as expressões em série temos:
O termo com
multiplicando a soma dá (fazendo mudança de índice ou notando que é
, mas posso escrever para todos
já que o termo
é zero)
Portanto somando tudo obtemos, para cada
,
Agrupando os termos em
e
:
Isolando
obtemos a recorrência fundamental:
Explicação do significado: o coeficiente do termo
é dado em função do coeficiente do termo
. Isso liga termos com diferença de índice
, portanto a série se divide em duas cadeias independentes: uma envolvendo os
(par) e outra envolvendo os
(ímpar). As constantes livres são
e
, que são os dois parâmetros arbitrários da solução geral de uma EDO linear de 2ª ordem.
Passo 4
Interpretação prática da recorrência e construção das duas soluções independentes:
- A cadeia par (
par): tomando na recorrência, obtemos
Isso permite expressar todos os
em função de
:
com
livre. Assim uma solução é a série par
onde
é o produto acima dividido por
.
- A cadeia ímpar (
ímpar): tomando ,
logo
com
livre, e a solução ímpar é
A solução geral é combinação linear das duas:
onde
e
.
Passo 5
Análise do caso
(por que aparecem polinômios — as famosas soluções de Hermite):
Observe a recorrência
Observe a recorrência
Se para algum
tivermos
, então o numerador
é zero e consequentemente
. Mas então, usando a recorrência para índices maiores na mesma cadeia (par ou ímpar), os coeficientes subsequentes da mesma cadeia serão todos zero (pois cada termo seguinte é múltiplo de
que é zero). Assim a cadeia correspondente termina. Por isso:
- Se
é inteiro não negativo e a cadeia usada contém o índice (isto é, se a paridade de é a mesma da cadeia escolhida), então a série termina e gera um polinômio de grau . - Se a outra cadeia tiver paridade oposta a
, essa outra cadeia continua infinita (não se anula naquele ) e gera uma solução não-polinomial.
Conclusão: para cada
existe uma solução polinomial de grau
. Esses polinômios (tomando-se uma normalização conveniente) são os polinômios de Hermite
. A outra solução independente é uma série infinita de mesma paridade oposta e não-polinomial.
Passo 6
Exemplos concretos para ver como aparecem os polinômios (faça igual na prova para
pequeno):
- Caso
. Recorrência:
Tomando
arbitrário e
(solução par) obtemos sucessivos coeficientes que eventualmente anulam? Aqui
já dá
se substituirmos
na forma
: na verdade para
o numerador é
, logo
e então todos os pares além disso são zero: a solução par é constante. Escolhendo
temos
, que é
(até constante).
-
Caso
. Para a cadeia ímpar contém e portanto termina: começando com livre e obtemos polinomial de grau . Escolhendo recuperamos , que é . A cadeia par será infinita e dá a outra solução independente. -
Caso
. Aqui é par, então a cadeia par termina em . Tomando conveniente e obtemos, depois de calcular alguns com a recorrência, o polinômio (normalizado) .
Estes exemplos mostram na prática: para
existe uma solução polinomial de grau
(Hermite) obtida fazendo a escolha inicial na cadeia cuja paridade coincide com
e normalizando o coeficiente líder.
Passo 7
Resumo operacional que você pode reproduzir na prova rapidamente:
- Supõe
. - Deriva e substitui para obter a recorrência
- Separar em cadeias par e ímpar (coeficientes livres
). - Para
a cadeia cuja paridade é a de terá e a série termina, produzindo o polinômio de Hermite de grau . A outra cadeia fornece a segunda solução (geralmente não-polinomial).
Resposta
Recorrência:
Soluções em séries (duas independentes, par e ímpar):
Soluções em séries (duas independentes, par e ímpar):
Para
a cadeia cuja paridade coincide com
termina em
, produzindo um polinômio de grau
(o polinômio de Hermite
até normalização). Exemplos normalizados:
.