Use o método de séries de potências para resolver os PVI’s:
e
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que a questão pede e o que foi dado):
- Temos o problema de valor inicial (PVI)
com condições iniciais
-
O enunciado manda usar o método de séries de potências centradas em
(série de Maclaurin) para encontrar a solução que satisfaz o PVI. -
Dados que vamos usar explicitamente: os coeficientes iniciais desconhecidos da série serão
. A meta é obter uma fórmula recorrente para esses coeficientes, aplicar as condições iniciais e escrever a série solução (pelo menos os primeiros termos e, se possível, a expressão geral dos coeficientes).
Passo 2
Assumimos uma solução em série de potências centrada em
. Isto é, postulamos
onde
são constantes que vamos determinar. Explico: cada
é o coeficiente do termo
. Essa forma é natural quando queremos uma solução analítica perto de
.
Agora calculemos
e
em termos da mesma base
.
Derivando termo a termo,
Fazendo uma mudança de índice para escrever
como soma em potência
(índice começando em
):
Também
Mude índice para ter potências
com
começando em
:
Passo 3
Substituímos
e
na equação diferencial
. Assim
Queremos igualar coeficiente a coeficiente de
. Para isso é útil escrever ambos somando a partir de
; note que na segunda soma os coeficientes para
são nulos (podemos considerar
). Assim, para todo
obtemos a igualdade dos coeficientes:
onde aceitamos
se
.
Isso fornece a relação de recorrência
com a interpretação que
.
Passo 4
Usemos agora as condições iniciais para fixar
e
. Como
Portanto
e
.
Agora aplicamos a recorrência para obter os primeiros coeficientes explícitos. Para
a parte
corresponde a índices negativos, que são zero, então:
Para
a recorrência passa a envolver coeficientes já definidos; calculemos alguns:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observação importante (padrão): vemos que
e isso “gera” zeros para todos os coeficientes cujos índices são congruentes a
módulo
. Somente aparecem coeficientes não nulos nas classes
e
, pois a recorrência relaciona
com
(avanço de 5 índices).
Passo 5
Vamos expressar a solução em forma fechada (série) e dar a fórmula geral para os coeficientes. Pela observação anterior, escrevemos a solução como soma de duas séries (uma com potências
, outra com
):
A recorrência específica para os termos não nulos pode ser escrita, para
, como
Estas fórmulas vêm de escolher
tal que
e
na recorrência original.
A solução fechada para os coeficientes (por indução) é então
onde entendemos produto vazio (para
) como
. Substituindo
e
obtemos a expressão completa da série.
Para ficar bem concreto, escrevo os primeiros termos que calculamos:
mais compactamente,
com
.
Passo 6
Comentário final e dica prática para a prova: o método é sempre o mesmo — assumir série, derivar termo a termo, igualar coeficientes e usar condições iniciais. Preste atenção no deslocamento dos índices (aqui o termo
desloca os índices em 3, levando a uma relação que pula 5 posições). Em prova, calcule alguns coeficientes iniciais (até aparecer um padrão) e, se possível, escreva a fórmula geral por indução como eu fiz. Isso economiza tempo e evita calcular infinitos termos manualmente.
Resposta
ou, pelos primeiros termos,