Use o método de séries de potências para resolver os PVI’s:
y^{\prime \prime}-x^{3} y=0, \quad y(0)=2 \quad e y^{\prime}(0)=-3

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que a questão pede e o que foi dado):
  • Temos o problema de valor inicial (PVI)
y''-x^{3}y=0,
com condições iniciais
y(0)=2,\qquad y'(0)=-3.
  • O enunciado manda usar o método de séries de potências centradas em x=0 (série de Maclaurin) para encontrar a solução y(x) que satisfaz o PVI.
  • Dados que vamos usar explicitamente: os coeficientes iniciais desconhecidos da série serão a_0,a_1,\dots. A meta é obter uma fórmula recorrente para esses coeficientes, aplicar as condições iniciais e escrever a série solução (pelo menos os primeiros termos e, se possível, a expressão geral dos coeficientes).

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências centrada em 0. Isto é, postulamos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,
onde a_n são constantes que vamos determinar. Explico: cada a_n é o coeficiente do termo x^n. Essa forma é natural quando queremos uma solução analítica perto de x=0.
Agora calculemos y'' e x^3 y em termos da mesma base x^n.
Derivando termo a termo,
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}.
Fazendo uma mudança de índice para escrever y'' como soma em potência x^n (índice começando em n=0):
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}.
Também
x^3 y(x)=x^3\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+3}.
Mude índice para ter potências x^n com n começando em 0:
x^3 y(x)=\sum_{n=3}^{\infty} a_{n-3} x^{n}.

Passo 3

Substituímos y'' e x^3 y na equação diferencial y''-x^3 y=0. Assim
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n} \;-\; \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-3} x^{n}=0.
Queremos igualar coeficiente a coeficiente de x^n. Para isso é útil escrever ambos somando a partir de n=0; note que na segunda soma os coeficientes para n=0,1,2 são nulos (podemos considerar a_{-3}=a_{-2}=a_{-1}=0). Assim, para todo n\ge 0 obtemos a igualdade dos coeficientes:
(n+2)(n+1)a_{n+2}-a_{n-3}=0,
onde aceitamos a_{k}=0 se k<0.
Isso fornece a relação de recorrência
a_{n+2}=\frac{a_{n-3}}{(n+2)(n+1)},\qquad n\ge 0,
com a interpretação que a_{-3}=a_{-2}=a_{-1}=0.

Passo 4

Usemos agora as condições iniciais para fixar a_0 e a_1. Como
y(0)=a_0=2,\qquad y'(0)=a_1=-3.
Portanto a_0=2 e a_1=-3.
Agora aplicamos a recorrência para obter os primeiros coeficientes explícitos. Para n=0,1,2 a parte a_{n-3} corresponde a índices negativos, que são zero, então:
(0+2)(0+1)a_2 - a_{-3}=0 \Rightarrow 2\cdot1\; a_2=0 \Rightarrow a_2=0,
(1+2)(1+1)a_3 - a_{-2}=0 \Rightarrow 3\cdot2\; a_3=0 \Rightarrow a_3=0,
(2+2)(2+1)a_4 - a_{-1}=0 \Rightarrow 4\cdot3\; a_4=0 \Rightarrow a_4=0.
Para n\ge 3 a recorrência passa a envolver coeficientes já definidos; calculemos alguns:
  • Para n=3:
a_5=\frac{a_{0}}{5\cdot4}=\frac{a_0}{20}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}.
  • Para n=4:
a_6=\frac{a_{1}}{6\cdot5}=\frac{a_1}{30}=\frac{-3}{30}=-\frac{1}{10}.
  • Para n=5:
a_7=\frac{a_{2}}{7\cdot6}=0 \quad(\text{pois }a_2=0).
  • Para n=6:
a_8=\frac{a_{3}}{8\cdot7}=0.
  • Para n=7:
a_9=\frac{a_{4}}{9\cdot8}=0.
  • Para n=8:
a_{10}=\frac{a_{5}}{10\cdot9}=\frac{\tfrac{1}{10}}{90}=\frac{1}{900}.
  • Para n=9:
a_{11}=\frac{a_{6}}{11\cdot10}=\frac{-\tfrac{1}{10}}{110}=-\frac{1}{1100}.
Observação importante (padrão): vemos que a_2=a_3=a_4=0 e isso “gera” zeros para todos os coeficientes cujos índices são congruentes a 2,3,4 módulo 5. Somente aparecem coeficientes não nulos nas classes n\equiv 0\pmod 5 e n\equiv 1\pmod 5, pois a recorrência relaciona a_{n+2} com a_{n-3} (avanço de 5 índices).

Passo 5

Vamos expressar a solução em forma fechada (série) e dar a fórmula geral para os coeficientes. Pela observação anterior, escrevemos a solução como soma de duas séries (uma com potências x^{5k}, outra com x^{5k+1}):
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{5k} x^{5k} \;+\; \sum_{k=0}^{\infty} a_{5k+1} x^{5k+1}.
A recorrência específica para os termos não nulos pode ser escrita, para k\ge 1, como
a_{5k}=\frac{a_{5(k-1)}}{(5k)(5k-1)},
a_{5k+1}=\frac{a_{5(k-1)+1}}{(5k+1)(5k)}.
Estas fórmulas vêm de escolher n tal que n+2=5k e n+2=5k+1 na recorrência original.
A solução fechada para os coeficientes (por indução) é então
a_{5k}=a_0\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{(5j)(5j-1)},\qquad k\ge 0,
a_{5k+1}=a_1\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{(5j+1)(5j)},\qquad k\ge 0,
onde entendemos produto vazio (para k=0) como 1. Substituindo a_0=2 e a_1=-3 obtemos a expressão completa da série.
Para ficar bem concreto, escrevo os primeiros termos que calculamos:
y(x)=2 -3x + 0\cdot x^2 + 0\cdot x^3 + 0\cdot x^4 + \tfrac{1}{10}x^5 -\tfrac{1}{10}x^6 + 0\cdot x^7 + 0\cdot x^8 + 0\cdot x^9 + \tfrac{1}{900}x^{10} -\tfrac{1}{1100}x^{11} + \cdots
mais compactamente,
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\left( a_0\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{(5j)(5j-1)}\right)x^{5k} +\sum_{k=0}^{\infty}\left( a_1\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{(5j+1)(5j)}\right)x^{5k+1},
com a_0=2,\;a_1=-3.

Passo 6

Comentário final e dica prática para a prova: o método é sempre o mesmo — assumir série, derivar termo a termo, igualar coeficientes e usar condições iniciais. Preste atenção no deslocamento dos índices (aqui o termo x^3 y desloca os índices em 3, levando a uma relação que pula 5 posições). Em prova, calcule alguns coeficientes iniciais (até aparecer um padrão) e, se possível, escreva a fórmula geral por indução como eu fiz. Isso economiza tempo e evita calcular infinitos termos manualmente.

Resposta

y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(2\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{(5j)(5j-1)}\right)x^{5k} -\sum_{k=0}^{\infty}\left(3\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{(5j+1)(5j)}\right)x^{5k+1}
ou, pelos primeiros termos,
y(x)=2-3x+\tfrac{1}{10}x^{5}-\tfrac{1}{10}x^{6}+\tfrac{1}{900}x^{10}-\tfrac{1}{1100}x^{11}+\cdots

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