Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{x}{x^{2}+7} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x}{x^{2}+7}\,dx
usando o método de substituição. Vamos usar a ideia de tomar como substituição o denominador, pois sua derivada aparente está no numerador.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^{2} + 7.
Então, derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u. Como x^{2}+7 = u e x\,dx = \tfrac12\,du, temos
\int \frac{x}{x^{2}+7}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\bigl(x\,dx\bigr) = \int \frac{1}{u}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

A integral de \frac{1}{u} é o logaritmo natural. Logo,
\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^{2}+7 e obtemos a resposta final:
\frac{1}{2}\ln\bigl|x^{2}+7\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{x}{x^{2}+7}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+7\bigr) + C.

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