Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{\csc (7 x) \cot (7 x)}{(1+\csc (7 x))^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\csc(7x)\,\cot(7x)}{\bigl(1+\csc(7x)\bigr)^{4}}\,dx
usando o método de substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + \csc(7x).
Derivando, temos
du = \frac{d}{dx}\bigl(\csc(7x)\bigr)\,dx = -7\,\csc(7x)\,\cot(7x)\,dx,
logo
\csc(7x)\,\cot(7x)\,dx = -\tfrac{1}{7}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \frac{\csc(7x)\,\cot(7x)}{\bigl(1+\csc(7x)\bigr)^{4}}\,dx = \int \frac{-\tfrac{1}{7}\,du}{u^{4}} = -\tfrac{1}{7} \int u^{-4}\,du.
Agora integramos:
-\tfrac{1}{7} \int u^{-4}\,du = -\tfrac{1}{7} \cdot \frac{u^{-3}}{-3} = \frac{1}{21}\,u^{-3}.

Passo 4

Voltando à variável x,
u^{-3} = \bigl(1+\csc(7x)\bigr)^{-3},
logo a primitiva é
\frac{1}{21}\,\bigl(1+\csc(7x)\bigr)^{-3} + C.

Resposta

\frac{1}{21\,(1+\csc(7x))^{3}} + C

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