Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \sin (9 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \sin(9x)\,dx
usando o método de substituição. Esse método é a “inversão” da regra da cadeia: quando temos uma composição do tipo f'(g(x))\,g'(x), podemos definir u=g(x) para simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a escolha
u = 9x.
Diferenciando, obtém-se
du = 9\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{9}.

Passo 3

Substituindo na integral original, vem
\int \sin(9x)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{du}{9} = \frac{1}{9}\int \sin(u)\,du.
Sabemos que
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C,
então
\frac{1}{9}\int \sin(u)\,du = -\frac{1}{9}\cos(u) + C.

Passo 4

Finalmente, voltamos à variável x substituindo u=9x:
-\frac{1}{9}\cos(u) + C \;=\; -\frac{1}{9}\cos(9x) + C.

Resposta

-\frac{1}{9}\cos(9x) + C

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