Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{\operatorname{sen}(2 x)}{3+5 \cos (2 x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\operatorname{sen}(2x)}{3 + 5\cos(2x)}\,dx
usando o método de substituição. Vamos escolher uma substituição que transforme o denominador em uma variável simples e veja que a derivada dessa variável aparece (proporcionalmente) no numerador.

Passo 2

Definimos
u = 3 + 5\cos(2x).
Agora calculamos du. Como \frac{d}{dx}\bigl(\cos(2x)\bigr) = -2\operatorname{sen}(2x), temos
du = 5 \cdot (-2\operatorname{sen}(2x))\,dx = -10\,\operatorname{sen}(2x)\,dx.
Dessa forma isolamos \operatorname{sen}(2x)\,dx:
\operatorname{sen}(2x)\,dx = -\frac{1}{10}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, o numerador \operatorname{sen}(2x)\,dx vira -\tfrac{1}{10}\,du e o denominador vira u. Assim,
\int \frac{\operatorname{sen}(2x)}{3 + 5\cos(2x)}\,dx = \int \frac{-\frac{1}{10}\,du}{u} = -\frac{1}{10}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

A integral de \frac{1}{u} é o logaritmo natural. Logo,
-\frac{1}{10}\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{10}\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 5

Retornando à variável x, lembramos que u = 3 + 5\cos(2x). Portanto a antiderivada é
-\frac{1}{10}\ln\bigl|3 + 5\cos(2x)\bigr| + C.

Resposta

-\frac{1}{10}\ln\bigl|3 + 5\cos(2x)\bigr| + C.

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