Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{e^{1 / x}+2}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{e^{1/x}+2}{x^{2}}\,dx
usando o método de substituição. Aqui a ideia é reconhecer que a parte 1/x aparece dentro de um exponencial e sua derivada está perto de 1/x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \frac{1}{x}, \qquad du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x^{2}}\,dx = -du.
Assim a integral se divide em duas parcelas:
\int \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx \quad\text{e}\quad \int \frac{2}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Para a primeira parte, usando a substituição, temos
\int \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx = \int e^{u}\,\bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\,dx\bigr) = \int e^{u}\,(-du) = -\int e^{u}\,du = -e^{u}.

Passo 4

Para a segunda parte, integramos diretamente em x:
\int \frac{2}{x^{2}}\,dx = 2\int x^{-2}\,dx = 2\cdot\bigl(\tfrac{x^{-1}}{-1}\bigr) = -2\,x^{-1} = -\frac{2}{x}.

Passo 5

Somando as duas parcelas e voltando a variável original u=1/x, obtemos
-e^{u} \;+\; \bigl(-\tfrac{2}{x}\bigr) + C = -e^{1/x} \;-\;\frac{2}{x} + C.

Resposta

\boxed{-e^{1/x} - \frac{2}{x} + C}

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