Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \sqrt{7 x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{7x+2}\,dx
usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função cujo diferencial apareça (ou possa aparecer com um fator constante) no integrando, reescrever tudo em termos da nova variável e depois voltar para x.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 7x + 2.
Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 7\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{7}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int \sqrt{7x+2}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{7} = \frac{1}{7}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Aplicamos a regra da potência para integrar u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Logo,
\frac{1}{7}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{7}\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{2}{21}\,u^{3/2}.

Passo 5

Voltando à variável original x (lembre que u=7x+2), a antiderivada é
\frac{2}{21}\,(7x+2)^{3/2} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \sqrt{7x+2}\,dx = \frac{2}{21}\,(7x+2)^{3/2} + C.

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