Calcule as integrais indefinidas
\int(x-1)^{2}(x+1)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (x-1)^{2}(x+1)^{2}\,dx
O conteúdo aqui é integração de polinômios, e vamos usar a identidade (x-1)(x+1)=x^{2}-1 para simplificar antes de aplicar a regra do poder.

Passo 2

Usando (x-1)(x+1)=x^{2}-1, temos
(x-1)^{2}(x+1)^{2} \;=\;\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2} \;=\;x^{4}-2x^{2}+1

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}, \qquad \int (-2x^{2})\,dx = -2\cdot \frac{x^{3}}{3}, \qquad \int 1\,dx = x.

Resposta

\int (x-1)^{2}(x+1)^{2}\,dx = \frac{x^{5}}{5} \;-\;\frac{2x^{3}}{3} \;+\; x \;+\; C

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