Calcule as integrais indefinidas
\int \tan ^{2} x \csc ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \tan^{2}x\,\csc^{2}x\,dx. O conteúdo aqui envolve usar identidades trigonométricas para simplificar o integrando e, em seguida, aplicar uma integral padrão.

Passo 2

Simplificamos o integrando usando identidades:
\tan^{2}x\,\csc^{2}x = \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\cdot\frac{1}{\sin^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x} = \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Como sabemos que \dfrac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x, segue que
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x + C.

Resposta

\tan x + C

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