Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \tan x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \tan x \,\operatorname{sec}^{2}x\,dx
utilizando o método de substituição. A ideia é identificar uma parte da função cuja derivada aparece multiplicando-a.

Passo 2

Observamos que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Logo, fazemos a substituição
u = \tan x
du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \tan x \,\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \int u\,du.
Agora basta integrar em u:
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u=\tan x. Portanto, a primitiva é
\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{\tan^{2}x}{2} + C.

Resposta

\frac{\tan^{2}x}{2} + C

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