Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int 2^{x^{2}+1} x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int 2^{x^{2}+1} x \, dx.
O conteúdo da matéria é o método de substituição de variáveis, aproveitando que a derivada de x^{2}+1 é proporcional a x.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^{2}+1.
Então
dt = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int 2^{x^{2}+1} x \, dx = \int 2^{t}\,\frac{dt}{2} = \tfrac12 \int 2^{t}\,dt.

Passo 4

Sabendo que
\int 2^{t}\,dt = \frac{2^{t}}{\ln 2},
segue
\tfrac12 \int 2^{t}\,dt = \tfrac12 \cdot \frac{2^{t}}{\ln 2} = \frac{2^{t}}{2\ln 2}.
Voltando à variável x, fica
\frac{2^{x^{2}+1}}{2\ln 2} = \frac{2\cdot 2^{x^{2}}}{2\ln 2} = \frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}.

Resposta

\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2} + C.

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