Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int 2^{x^{2}+1} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 2^{x^{2}+1}\,x\,dx
e indica usar o método de substituição.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{2}+1,
então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int 2^{x^{2}+1}\,x\,dx = \int 2^{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int 2^{u}\,du.

Passo 4

Sabendo que
\int a^{u}\,du = \frac{a^{u}}{\ln a} + C,
para a=2 obtemos
\frac{1}{2}\int 2^{u}\,du = \frac{1}{2}\,\frac{2^{u}}{\ln 2} + C = \frac{2^{u}}{2\,\ln 2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^{2}+1 e chegamos à antiderivada
\frac{2^{x^{2}+1}}{2\,\ln 2} + C.

Resposta

\boxed{\int 2^{x^{2}+1}x\,dx = \frac{2^{x^{2}+1}}{2\,\ln 2} + C.}

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