Encontre os pontos extremos de
e os classifique (ponto de máximo, mínimo ou de sela)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede os pontos críticos (extremos) e sua classificação (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificar cada um.
e pede os pontos críticos (extremos) e sua classificação (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificar cada um.
Passo 2
Para obter os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Igualando cada uma a zero e dividindo por 3, obtemos
Como as equações em
e em
são independentes, os pontos críticos são todas as combinações:
Passo 3
Para classificar cada ponto, calculamos a matriz Hessiana de
:
onde
O determinante da Hessiana é
Passo 4
Avaliando em cada ponto crítico:
Para
:
Logo é mínimo local.
Para
:
Logo é ponto de sela.
Para
:
Logo é ponto de sela.
Para
:
Logo é máximo local.