Encontre os pontos extremos de f e os classifique (ponto de máximo, mínimo ou de sela)
f(x, y)=x^{3}+y^{3}+9 x^{2}-3 y^{2}+15 x-9 y

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=x^3+y^3+9x^2-3y^2+15x-9y
e pede os pontos críticos (extremos) e sua classificação (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificar cada um.

Passo 2

Para obter os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2+18x+15
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2-6y-9
Igualando cada uma a zero e dividindo por 3, obtemos
x^2+6x+5=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\text{ ou }x=-5,
y^2-2y-3=0\quad\Longrightarrow\quad y=3\text{ ou }y=-1.
Como as equações em x e em y são independentes, os pontos críticos são todas as combinações:
(-1,3),\;(-1,-1),\;(-5,3),\;(-5,-1).

Passo 3

Para classificar cada ponto, calculamos a matriz Hessiana de f:
H(f)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[6pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}
onde
f_{xx}=6x+18,\quad f_{xy}=0,\quad f_{yy}=6y-6.
O determinante da Hessiana é
D(x,y)=f_{xx}\,f_{yy}-f_{xy}^2=(6x+18)(6y-6).]

Passo 4

Avaliando em cada ponto crítico:
Para (-1,3):
f_{xx}=6(-1)+18=12,\quad f_{yy}=6\cdot3-6=12,
D=12\cdot12=144>0,\quad f_{xx}=12>0\
Logo é mínimo local.
Para (-1,-1):
f_{xx}=12,\quad f_{yy}=6(-1)-6=-12,
D=12\cdot(-12)=-144<0\
Logo é ponto de sela.
Para (-5,3):
f_{xx}=6(-5)+18=-12,\quad f_{yy}=12,
D=(-12)\cdot12=-144<0\
Logo é ponto de sela.
Para (-5,-1):
f_{xx}=-12,\quad f_{yy}=6(-1)-6=-12,
D=(-12)\cdot(-12)=144>0,\quad f_{xx}=-12<0\
Logo é máximo local.

Resposta

(-1,3) mínimo local. (-1,-1) ponto de sela. (-5,3) ponto de sela. (-5,-1) máximo local.

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