Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int\left(e^{2 t}+2\right)^{1 / 3} e^{2 t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \bigl(e^{2t}+2\bigr)^{\tfrac{1}{3}}\,e^{2t}\,dt
usando o método de substituição. O conteúdo aqui é integração por substituição, em que vamos escolher uma parte da integral que facilite o cálculo.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = e^{2t} + 2.
Isso faz sentido porque a parte que está elevada a \tfrac{1}{3} é e^{2t}+2.

Passo 3

Derivando u em relação a t, temos
du = 2\,e^{2t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad e^{2t}\,dt = \frac{du}{2}.
Agora substituímos na integral original:
\int \bigl(e^{2t}+2\bigr)^{\tfrac{1}{3}}\,e^{2t}\,dt = \int u^{\tfrac{1}{3}}\;\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{\tfrac{1}{3}}\,du.

Passo 4

Aplicando a regra de potência na integral em u:
\int u^{\tfrac{1}{3}}\,du = \frac{u^{\tfrac{4}{3}}}{\tfrac{4}{3}} = \frac{3}{4}\,u^{\tfrac{4}{3}}.
Logo,
\frac{1}{2}\int u^{\tfrac{1}{3}}\,du = \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\,u^{\tfrac{4}{3}} = \frac{3}{8}\,u^{\tfrac{4}{3}} + C.

Passo 5

Retornamos à variável original usando u = e^{2t}+2. Assim, a primitiva é
\frac{3}{8}\,\bigl(e^{2t}+2\bigr)^{\tfrac{4}{3}} + C.

Resposta

\int \bigl(e^{2t}+2\bigr)^{\tfrac{1}{3}}\,e^{2t}\,dt = \frac{3}{8}\,\bigl(e^{2t}+2\bigr)^{\tfrac{4}{3}} + C.

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