Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
(a) f(x)=x^{3}-3 x+1,[0,3].

Passo 1

O enunciado pede os valores de máximo e mínimo absolutos da função
f(x)=x^{3}-3x+1
no intervalo fechado [0,3].
Esse é um problema de extremos absolutos em intervalo fechado: pelo teorema, basta calcular os pontos críticos onde f'=0 (ou não existe) dentro de [0,3] e avaliar também os extremos x=0 e x=3.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos. A derivada é
f'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1).
Para f'(x)=0 temos x^{2}-1=0, isto é, x=\pm1. Dessas, só x=1 pertence ao nosso intervalo [0,3].

Passo 3

Agora avaliamos f em x=0, x=1 e x=3:
f(0)=0^{3}-3\cdot0+1=1,
f(1)=1^{3}-3\cdot1+1=-1,
f(3)=3^{3}-3\cdot3+1=27-9+1=19.

Passo 4

Comparando os valores obtidos:
  • O menor valor é -1 em x=1.
  • O maior valor é 19 em x=3.

Resposta

Máximo absoluto: \max_{[0,3]}f = f(3)=19
Mínimo absoluto: \min_{[0,3]}f = f(1)=-1

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