Use o método da transformada de Laplace para calcular
para a matriz de coeficientes.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular $ e^{\mathbf{A} t} $ usando o método da transformada de Laplace. A matriz $ \mathbf{A} $ que estamos lidando é:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre transformadas de Laplace e como elas se aplicam a sistemas de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $, podemos usar a transformada de Laplace da solução da equação diferencial $ \mathbf{X}’ = \mathbf{A} \mathbf{X} $. Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, temos:
Sabemos que $ \mathcal{L}{\mathbf{X}’} = s\mathcal{L}{\mathbf{X}} - \mathbf{X}(0) $ e $ \mathcal{L}{\mathbf{A} \mathbf{X}} = \mathbf{A} \mathcal{L}{\mathbf{X}} $.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação:
Isolando $ \mathcal{L}{\mathbf{X}} $:
Portanto:
Passo 4
Agora, para encontrar $ e^{\mathbf{A} t} $, precisamos calcular a matriz inversa $ (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} $ e depois aplicar a transformada inversa de Laplace.
Primeiro, vamos calcular $ s\mathbf{I} - \mathbf{A} $:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
A matriz inversa é então:
Passo 5
Para aplicar a transformada inversa de Laplace, precisamos decompor em frações parciais. Observamos que o denominador $ s^2 - 2s + 2 $ pode ser escrito como $ (s-1)^2 + 1 $, que se relaciona com as transformadas conhecidas de funções exponenciais e senos/cossenos.
Aplicando a transformada inversa, obtemos:
Resposta
A matriz exponencial é: