QUESTIONÁRIO - 3
GEXT 7503 - CÁLCULO VETORIAL, Prof. Bassani,
.Semestre 2024.
(Duração Prevista: 30 minutos; 50 pontos equivale a grau 10,0)
Determine os pontos sobre a esfera
onde o plano tangente é paralelo ao plano
.
GEXT 7503 - CÁLCULO VETORIAL, Prof. Bassani,
(Duração Prevista: 30 minutos; 50 pontos equivale a grau 10,0)
Determine os pontos sobre a esfera
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo Vetorial! A gente precisa achar todos os pontos sobre a esfera
onde o plano tangente é paralelo ao plano
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes e como identificar se dois planos são paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação do plano tangente a uma esfera em um ponto qualquer. Se temos uma esfera
, o plano tangente nesta esfera no ponto
é dado por:
No nosso caso, a esfera é
, então o raio
, e a equação do plano tangente no ponto
fica:
Passo 3
Agora, para que dois planos sejam paralelos, os coeficientes das variáveis devem ser proporcionais. O plano que a gente quer que seja paralelo é
. Então, queremos que os coeficientes do plano tangente
sejam múltiplos dos coeficientes
.
Isso significa que deve existir uma constante
tal que:
Passo 4
Como o ponto
está na esfera
, vamos substituir esses valores na equação da esfera para encontrar o valor de
:
Calculando:
Passo 5
Com os valores de
encontrados, podemos determinar os pontos
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Simplificando as frações para deixar mais apresentável, podemos racionalizar os denominadores multiplicando numerador e denominador por
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os pontos sobre a esfera
onde o plano tangente é paralelo ao plano
são: