QUESTIONÁRIO - 3
GEXT 7503 - CÁLCULO VETORIAL, Prof. Bassani, 2^circ.Semestre 2024.
(Duração Prevista: 30 minutos; 50 pontos equivale a grau 10,0)
Determine os pontos sobre a esfera x^2+y^2+z^2=1 onde o plano tangente é paralelo ao plano 2 x+y-3 z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo Vetorial! A gente precisa achar todos os pontos sobre a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 onde o plano tangente é paralelo ao plano 2x + y - 3z = 2. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes e como identificar se dois planos são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação do plano tangente a uma esfera em um ponto qualquer. Se temos uma esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2, o plano tangente nesta esfera no ponto (x0, y0, z0) é dado por:
x0 x + y0 y + z0 z = r^2
No nosso caso, a esfera é x^2 + y^2 + z^2 = 1, então o raio r = 1, e a equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z0) fica:
x0 x + y0 y + z0 z = 1

Passo 3

Agora, para que dois planos sejam paralelos, os coeficientes das variáveis devem ser proporcionais. O plano que a gente quer que seja paralelo é 2x + y - 3z = 2. Então, queremos que os coeficientes do plano tangente x0 x + y0 y + z0 z = 1 sejam múltiplos dos coeficientes 2, 1, -3.
Isso significa que deve existir uma constante k tal que:
x0 = 2k, y0 = k, z0 = -3k

Passo 4

Como o ponto (x0, y0, z0) está na esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1, vamos substituir esses valores na equação da esfera para encontrar o valor de k:
(2k)^2 + (k)^2 + (-3k)^2 = 1
Calculando:
4k^2 + k^2 + 9k^2 = 1
14k^2 = 1
k^2 = 114
k = pm 1raiz14

Passo 5

Com os valores de k encontrados, podemos determinar os pontos (x0, y0, z0):
  • Para k = 1raiz14:
x0 = 2raiz14, y0 = 1raiz14, z0 = -3raiz14
  • Para k = -1raiz14:
x0 = -2raiz14, y0 = -1raiz14, z0 = 3raiz14

Passo 6

Simplificando as frações para deixar mais apresentável, podemos racionalizar os denominadores multiplicando numerador e denominador por raiz14:
  • Para k = 1raiz14:
x0 = 2raiz1414 = raiz147, y0 = raiz1414, z0 = -3raiz1414
  • Para k = -1raiz14:
x0 = -raiz147, y0 = -raiz1414, z0 = 3raiz1414

Resposta

Os pontos sobre a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 onde o plano tangente é paralelo ao plano 2x + y - 3z = 2 são:
( raiz147, raiz1414, -3raiz1414 ) e ( -raiz147, -raiz1414, 3raiz1414 )

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