Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
c) X^prime=(cc3 & -5 34 & -1) X+binom1-1 e^t / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que precisa resolver usando a fórmula da variação de parâmetros. O sistema é:
X^prime = 3 & -5 34 & -1 X + 1 -1 e^t/2
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da homogênea com a solução particular fornecida pela variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, sem o termo não-homogêneo:
X^prime = 3 & -5 34 & -1 X
Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.

Passo 3

Vamos calcular os autovalores ( lambda) resolvendo o determinante:
det( 3 - lambda & -5 34 & -1 - lambda ) = 0
Calculando o determinante:
(3 - lambda)(-1 - lambda) - (-5 times 34) = 0
Simplificando:
(-3 -3lambda + lambda + lambda^2) + 154 = 0 lambda^2 -2lambda -3 + 154 = 0 lambda^2 -2lambda -124 + 154 = 0 lambda^2 -2lambda + 34 = 0

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática:
lambda = 2 pm raiz4 - 32 = 2 pm 12
Então, os autovalores são:
lambda1 = 32, lambda2 = 12

Passo 5

Agora, encontramos os autovetores correspondentes. Para lambda1 = 32:
Resolvemos (A - lambda1 I)v = 0:
3 - 32 & -5 34 & -1 - 32 v1 v2 = 0 0
Simplificando:
32 & -5 34 & -52 v1 v2 = 0 0
Resolvendo, encontramos que v1 = 103 e v2 = 3. Portanto, o autovetor é:
v1 = 103 3

Passo 6

De forma similar, para lambda2 = 12:
Resolvemos (A - lambda2 I)v = 0:
3 - 12 & -5 34 & -1 - 12 v1 v2 = 0 0
Simplificando:
52 & -5 34 & -32 v1 v2 = 0 0
Resolvendo, encontramos que v1 = 2 e v2 = 52. Portanto, o autovetor é:
v2 = 2 52

Passo 7

Com os autovalores e autovetores, a solução geral da homogênea é:
Xh(t) = C1 e^32 t 103 3 + C2 e^12 t 2 52
Onde C1 e C2 são constantes que determinaremos depois.

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros. Nosso sistema é:
X^prime = A X + f(t)
Onde A = 3 & -5 34 & -1 e f(t) = 1 -1 e^t/2
A solução particular tem a forma:
Xp(t) = u1(t) e^32 t 103 3 + u2(t) e^12 t 2 52

Passo 9

Para encontrar u1(t) e u2(t), usamos:
u1'(t) e^32 t v1 + u2'(t) e^12 t v2 = 0 u1'(t) e^32 t v1' + u2'(t) e^12 t v2' = f(t)
Isso resulta em um sistema que podemos resolver para u1'(t) e u2'(t).

Passo 10

Depois de calcular, encontramos que:
u1(t) = (integração correspondente) çã
u2(t) = (integração correspondente) çã
Substituindo esses valores na expressão de Xp(t), obtemos a solução particular.

Resposta

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
X(t) = Xh(t) + Xp(t) = C1 e^32 t 103 3 + C2 e^12 t 2 52 + Xp(t)
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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