Use a fórmula da variação de parâmetros para encontrar uma solução geral do sistema.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que precisa resolver usando a fórmula da variação de parâmetros. O sistema é:
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da homogênea com a solução particular fornecida pela variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, sem o termo não-homogêneo:
Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.
Passo 3
Vamos calcular os autovalores (
) resolvendo o determinante:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Agora, encontramos os autovetores correspondentes. Para
:
Resolvemos
:
Simplificando:
Resolvendo, encontramos que
e
. Portanto, o autovetor é:
Passo 6
De forma similar, para
:
Resolvemos
:
Simplificando:
Resolvendo, encontramos que
e
. Portanto, o autovetor é:
Passo 7
Com os autovalores e autovetores, a solução geral da homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinaremos depois.
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros. Nosso sistema é:
Onde
e
A solução particular tem a forma:
Passo 9
Para encontrar
e
, usamos:
Isso resulta em um sistema que podemos resolver para
e
.
Passo 10
Depois de calcular, encontramos que:
Substituindo esses valores na expressão de
, obtemos a solução particular.
Resposta
A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.