O enunciado pede resolver por variação de parâmetros o sistema não homogêneo
X' = A,X + B(t)
com
A = 0 & 1 [6pt] -1 & 0, B(t) = 1 [3pt] cot t
O conteúdo é solução geral de sistema linear por variação de parâmetros, para o que precisamos (1) achar a matriz fundamental do homogêneo X'=AX, (2) calcular u'(t)=Phi^-1(t)B(t), (3) integrar u'(t) e (4) montar X(t)=Phi(t)u(t).]
Passo 2
Resolvendo o homogêneo X'=AX notamos que ele equivale a
x1' = x2, x2' = -x1
logo x1''+x1=0 cuja base de soluções é cos t,sin t. Dessa forma uma matriz fundamental é
Phi(t) = cos t & sin t [3pt] -,sin t & cos t ,
pois satisfaz Phi'(t)=A,Phi(t) e Phi(0)=I.]
Passo 3
Pela variação de parâmetros fazemos
X(t) = Phi(t),u(t)
Substituindo em X'=AX+B(t) e usando Phi' = APhi obtemos
Phi(t),u'(t) = B(t),
ou seja
u'(t) = Phi(t)^-1,B(t)
Como Phi^-1(t)=Phi(-t) segue
Phi^-1(t) = cos t & -sin t [3pt] sin t & cos t ]
Passo 4
Calculamos
u'(t) = cos t & -sin t [3pt] sin t & cos t 1[3pt]cot t = cos t-sin tcot t[3pt] sin t+cos tcot t =0[3pt]csc t ]
Passo 5
Integramos componente a componente:
u1'(t)=0 Rightarrow u1(t)=C1, u2'(t)=csc t Rightarrow u2(t)=integralcsc t,dt =lnl|tan t2r|+C2
Portanto
u(t)=C1[3pt]lnl|tan t2r|+C2 ]
Passo 6
A solução geral é
X(t) =Phi(t),u(t) = cos t & sin t [3pt] -,sin t & cos t C1[3pt]lnl|tan t2r|+C2