[1] ( 2.0 pts ) Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique tua resposta.
(a) (0.5 pt) A B=C D Rightarrow(A, C) sim(B, D).
(b) (0.5 pt) A B=C D Rightarrow A C cap B D=emptyset.
(c) (0.5 pt)|A B|=|C D| Rightarrow A B=C D.
(d) (0.5 pt) A B=C D Rightarrow|A B|=|C D|.

Passo 1

Temos quatro afirmações sobre vetores no plano. Antes de tudo, vamos explicitar a relação sim que aparece em (a): dizemos (A,C)sim(B,D) quando
AC=BD
O conteúdo usado será a álgebra de vetores livres: soma, subtração e norma (comprimento), além de exemplos para refutar afirmações falsas.

Passo 2

(a) Queremos mostrar que
AB=CD ;Longrightarrow;(A,C)sim(B,D),
ou seja, a igualdade AB=CD implica AC=BD. De fato, usando soma de vetores,
AC=AB+BC, BD=BC+CD
Como AB=CD, segue
BD=BC+AB =AB+BC =AC,
logo (A,C)sim(B,D). A afirmação é verdadeira.

Passo 3

(b) A afirmação é
AB=CD ;Longrightarrow; ACcap BD=emptyset
Mas no caso em que A,B,C,D formam um paralelogramo, os segmentos diagonais AC e BD se cruzam no ponto médio. Por exemplo, tome A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1), D=(2,1). Então AB=(1,0)=CD, mas os segmentos AC e BD cruzam-se em (1,0.5)neqemptyset. Logo a afirmação é falsa.

Passo 4

(c) A afirmação é
|AB|=|CD| ;Longrightarrow; AB=CD
Isso exigiria que só a igualdade de comprimentos bastasse para igualar vetores, o que não vale: dois vetores podem ter igual norma mas direções diferentes. Por exemplo, AB=(1,0) e CD=(0,1) têm |AB|=|CD|=1, porém ABneqCD. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 5

(d) A afirmação é
AB=CD ;Longrightarrow; |AB|=|CD|
Isto é imediato, pois vetores iguais têm sempre a mesma norma. Logo a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) verdadeira
(b) falsa
(c) falsa
(d) verdadeira

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