[3] (1.0 pt) Considere um quadrado e os vetores e v=O C. Ache o vetor x tal que x-2 u=-3 x+2 v, justifique a tua resposta. Seja P a extremidade do vetor x=O P, o ponto P está fora do quadrado O A B C ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um quadrado chamado OABC, onde O é um dos vértices. Os vetores dados são u = OA e v = OC. A gente precisa encontrar o vetor x que satisfaz a equação x - 2u = -3x + 2v. Além disso, queremos saber se o ponto P, que é a ponta do vetor x, está fora do quadrado OABC. Vamos usar conceitos de álgebra de vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação x - 2u = -3x + 2v para encontrar x. Para isso, vamos juntar os termos que contêm x de um lado e os demais do outro.
Passo 3
Somando 3x em ambos os lados da equação para trazer todas as x para o lado esquerdo:
x + 3x - 2u = 2v
Passo 4
Agora, somando x + 3x dá 4x, então a equação fica:
4x - 2u = 2v
Passo 5
Vamos isolar 4x adicionando 2u em ambos os lados:
4x = 2v + 2u
Passo 6
Agora, para encontrar x, dividimos ambos os lados por 4:
x = 2v + 2u4 = v + u2
Passo 7
Então, o vetor x é a média dos vetores u e v. Isso significa que x está no ponto médio entre os pontos finais de u e v.
Passo 8
Agora, precisamos verificar se o ponto P, que é a ponta de x, está fora do quadrado OABC. Como x = u + v2, P está no centro do quadrado. Portanto, P não está fora do quadrado OABC.
Resposta
O vetor x = dfracu + v2. O ponto P está dentro do quadrado O A B C.