[3] (1.0 pt) Considere O A B C um quadrado e os vetores u=O A e v=O C. Ache o vetor x tal que x-2 u=-3 x+2 v, justifique a tua resposta. Seja P a extremidade do vetor x=O P, o ponto P está fora do quadrado O A B C ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um quadrado chamado OABC, onde O é um dos vértices. Os vetores dados são u = OA e v = OC. A gente precisa encontrar o vetor x que satisfaz a equação x - 2u = -3x + 2v. Além disso, queremos saber se o ponto P, que é a ponta do vetor x, está fora do quadrado OABC. Vamos usar conceitos de álgebra de vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação x - 2u = -3x + 2v para encontrar x. Para isso, vamos juntar os termos que contêm x de um lado e os demais do outro.

Passo 3

Somando 3x em ambos os lados da equação para trazer todas as x para o lado esquerdo:
x + 3x - 2u = 2v

Passo 4

Agora, somando x + 3x 4x, então a equação fica:
4x - 2u = 2v

Passo 5

Vamos isolar 4x adicionando 2u em ambos os lados:
4x = 2v + 2u

Passo 6

Agora, para encontrar x, dividimos ambos os lados por 4:
x = 2v + 2u4 = v + u2

Passo 7

Então, o vetor x é a média dos vetores u e v. Isso significa que x está no ponto médio entre os pontos finais de u e v.

Passo 8

Agora, precisamos verificar se o ponto P, que é a ponta de x, está fora do quadrado OABC. Como x = u + v2, P está no centro do quadrado. Portanto, P não está fora do quadrado OABC.

Resposta

O vetor x = dfracu + v2. O ponto P está dentro do quadrado O A B C.

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