termo forçante \mathbf{g}(t)=\begin{pmatrix}2e^{-t}\\[4pt]3t\end{pmatrix}.
A pergunta é: encontrar a solução geral \mathbf{x}(t) do sistema (nenhuma outra condição inicial fornecida).]
Passo 2
Primeiro resolvemos o sistema homogêneo \mathbf{x}'=\mathbf{A}\mathbf{x}. Vamos achar autovalores e autovetores de \mathbf{A}.
Integramos componente a componente para obter \displaystyle \mathbf{v}(t)=\int \mathbf{X}^{-1}\mathbf{g}\,dt. (Escolhemos constantes de integração zero nesta integral; as constantes gerais aparecerão em \mathbf{X}(t)\mathbf{c}.)
Para a primeira componente:
\int\left(1+\frac{3}{2}te^{t}\right)dt = t + \frac{3}{2}\int te^{t}dt.
Usando integração por partes \int te^{t}dt=(t-1)e^{t}, obtemos
\int\left(1+\frac{3}{2}te^{t}\right)dt = t + \frac{3}{2}(t-1)e^{t}.