Resolva, mostrando todos os passos, o problema de Dirichlet:
\begin{gathered} u_{x x}+u_{y y}=0, \quad 0<x<\pi, 0<y<1 \\\ u(0, y)=u(\pi, y)=0, \quad u(x, 0)=0 \\\ u(x, 1)=\sin (2 x) \end{gathered}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O problema é o seguinte (PDE e condições de contorno):
\begin{gathered} u_{x x}+u_{y y}=0,\quad 0<x<\pi,\\\ 0<y<1,\\\ u(0,y)=0,\quad u(\pi,y)=0,\quad u(x,0)=0,\\\ u(x,1)=\sin(2x). \end{gathered}
  • Pergunta implícita: encontrar a função u(x,y) que satisfaz a equação de Laplace no retângulo 0<x<\pi,\\\ 0<y<1 com as condições de contorno dadas.
  • Informações relevantes fornecidas:
    • As condições em x=0 e x=\pi são nulas (bordos verticais com valor zero).
    • A condição em y=0 também é zero (borda inferior com valor zero).
    • A condição superior y=1 é u(x,1)=\sin(2x).
    • O domínio em x é (0,\pi) — isso sugere uso de séries em senos (seno nula nas extremidades).
    • O enunciado define um problema de Dirichlet (valores de u dados em todo o contorno).

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): usar separação de variáveis e representar a solução como soma (superposição) de modos que satisfazem as condições homogêneas em x e em y. Explico por que isso funciona de forma didática.
  • Ideia da separação de variáveis: procurar soluções da forma
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituir na equação de Laplace transforma a PDE em o que chamamos de equação separável, que podemos dividir em duas ODEs acopladas por um parâmetro (o autovalor). A solução geral será combinação linear (soma) desses modos separados porque a equação é linear e as condições de contorno em x são homogêneas (zero).
  • Observação sobre superposição: como a equação é linear e as condições em x são homogêneas, quaisquer combinações lineares de soluções separáveis também são soluções. Assim buscamos uma série do tipo
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,X_n(x)\,Y_n(y),
onde X_n e Y_n são modos correspondentes a autovalores \lambda_n.

Passo 3

Aplicando a separação: substitui u(x,y)=X(x)Y(y) na PDE e reorganiza.
  • Substituição:
u_{xx}+u_{yy}=X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Dividindo por X(x)Y(y) (assumindo não-nulo) obtemos:
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Isto implica que cada fração deve ser igual a uma constante oposta uma da outra. Chamamos essa constante de \lambda. Assim obtemos as duas ODEs:
\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,\qquad \frac{Y''(y)}{Y(y)}=\lambda.
Ou escrito como ODEs:
X''(x)+\lambda X(x)=0,
Y''(y)-\lambda Y(y)=0.
  • Interpretação: \lambda é o parâmetro de separação (autovalor). Vamos determinar \lambda a partir das condições em x.

Passo 4

Resolver a ODE em x com as condições de contorno em x: X(0)=0 e X(\pi)=0. Encontrar os autovalores \lambda admissíveis.
  • Consideramos casos para \lambda:
    1. Se \lambda<0, escreva \lambda=-\mu^2 com \mu>0. Então X''-\mu^2 X=0 tem solução X=Ae^{\mu x}+Be^{-\mu x}. As condições X(0)=0, X(\pi)=0 forçam A=-B e Ae^{\mu\pi}+Be^{-\mu\pi}=0 que leva apenas à solução trivial X\equiv0. Então \lambda<0 não produz modos não-triviais.
    2. Se \lambda=0, então X''=0 e X(x)=Ax+B. As condições X(0)=0 e X(\pi)=0 dão B=0 e A\pi=0 \Rightarrow A=0. Só a solução trivial. Logo \lambda\neq 0.
    3. Se \lambda>0, escreva \lambda=\mu^2 com \mu>0. Então
    X''+\mu^2 X=0,
    com solução geral
    X(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x).
    Impor X(0)=0 A=0. Impor X(\pi)=0 com A=0 B\sin(\mu\pi)=0. Para ter B\neq0 (modo não trivial) precisamos \sin(\mu\pi)=0, ou seja \mu\pi=n\pi para algum n\in\mathbb{Z}. Tomamos n=1,2,\dots. Assim \mu=n e \lambda_n=n^2.
  • Portanto os autovalores admissíveis são
\lambda_n=n^2,\quad n=1,2,3,\dots,
e os autovetores em x correspondentes são (até fator multiplicativo)
X_n(x)=\sin(nx).

Passo 5

Resolver a ODE em y para cada autovalor \lambda_n=n^2.
  • Para \lambda=n^2 a equação em y é
Y''(y)-n^2 Y(y)=0.
Essa é uma ODE linear com coeficientes constantes; a solução geral é expressa por exponenciais ou por funções hiperbólicas. Escrevendo em termos de exponenciais:
Y(y)=A_n e^{n y}+B_n e^{-n y}.
Também é conveniente usar hiperbólicas:
Y(y)=C_n\operatorname{sinh}(ny)+D_n\operatorname{cosh}(ny).
Ambas formas são equivalentes. Agora impomos a condição em y=0.
  • Condição u(x,0)=0 para todos x implica que, para cada modo, X_n(x)Y_n(0) deve contribuir para zero na soma. Como X_n não é identicamente zero, devemos ter Y_n(0)=0 para cada modo presente. Assim:
Y_n(0)=C_n\operatorname{sinh}(0)+D_n\operatorname{cosh}(0)=D_n=0.
Portanto D_n=0 e
Y_n(y)=C_n\operatorname{sinh}(ny).
Podemos incorporar C_n no coeficiente modal a_n. Assim cada modo não-trivial tem a forma
u_n(x,y)=a_n\,\operatorname{sinh}(ny)\sin(nx),
com a_n constantes a determinar.

Passo 6

Escrever a solução geral por superposição dos modos encontrados.
  • Como a equação é linear, a solução geral que satisfaz as condições homogêneas em x e y=0 é:
u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty a_n\,\operatorname{sinh}(ny)\sin(nx),
onde os a_n são coeficientes que serão determinados impondo a condição de contorno superior u(x,1)=\sin(2x).

Passo 7

Impor a condição u(x,1)=\sin(2x) e obter equações para os coeficientes a_n.
  • Avaliando a série em y=1 obtemos:
u(x,1)=\sum_{n=1}^\infty a_n\,\operatorname{sinh}(n)\sin(nx)=\sin(2x).
Isso é uma expansão em série seno na base \{\sin(nx)\}. Para igualar as duas funções no intervalo 0<x<\pi, igualamos os coeficientes da série de Fourier seno. Em particular, os coeficientes b_n da expansão de \sin(2x) na base \sin(nx) satisfazem
b_n=a_n\,\operatorname{sinh}(n),
onde
b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin(2x)\sin(nx)\,dx.

Passo 8

Calcular explicitamente os coeficientes [b_n) usando ortogonalidade dos senos e obter os a_n.
  • A identidade de ortogonalidade para \sin(nx) é
\int_0^\pi \sin(nx)\sin(mx)\,dx=\begin{cases} 0,& n\neq m,\\[4pt] \dfrac{\pi}{2},& n=m. \end{cases}
Assim, ao projetar \sin(2x)\] sobre \[\sin(nx),
b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin(2x)\sin(nx)\,dx
é igual a 0 quando n\neq 2 e igual a 1 quando n=2, porque para n=2:
\int_0^\pi \sin(2x)\sin(2x)\,dx=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad b_2=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}=1.
  • Logo
b_n=\begin{cases} 1,& n=2,\\[4pt] 0,& n\neq 2. \end{cases}
E como (b_n=a_n\operatorname{sinh}(n)], obtemos
a_n=\frac{b_n}{\operatorname{sinh}(n)}=\begin{cases} \dfrac{1}{\operatorname{sinh}(2)},& n=2,\\[6pt] 0,& n\neq 2. \end{cases}]

Passo 9

Concluir qual é a solução u(x,y) a partir dos coeficientes obtidos. (Aqui explico resumidamente o que isso significa no contexto do problema sem repetir a expressão final isolada.)
  • Como apenas o modo n=2 tem coeficiente não nulo, a série colapsa para um único termo do tipo a_2\operatorname{sinh}(2y)\sin(2x). O coeficiente foi encontrado como a_2=1/\operatorname{sinh}(2). Isso significa que a solução que satisfaz todas as condições de contorno é exatamente o modo correspondente a n=2 escalado por 1/\operatorname{sinh}(2).

Resposta

\displaystyle u(x,y)=\frac{\operatorname{sinh}(2y)}{\operatorname{sinh}(2)}\sin(2x)

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