Pergunta implícita: encontrar a função u(x,y) que satisfaz a equação de Laplace no retângulo 0<x<\pi,\\\ 0<y<1 com as condições de contorno dadas.
Informações relevantes fornecidas:
As condições em x=0 e x=\pi são nulas (bordos verticais com valor zero).
A condição em y=0 também é zero (borda inferior com valor zero).
A condição superior y=1 é u(x,1)=\sin(2x).
O domínio em x é (0,\pi) — isso sugere uso de séries em senos (seno nula nas extremidades).
O enunciado define um problema de Dirichlet (valores de u dados em todo o contorno).
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): usar separação de variáveis e representar a solução como soma (superposição) de modos que satisfazem as condições homogêneas em x e em y. Explico por que isso funciona de forma didática.
Ideia da separação de variáveis: procurar soluções da forma
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituir na equação de Laplace transforma a PDE em o que chamamos de equação separável, que podemos dividir em duas ODEs acopladas por um parâmetro (o autovalor). A solução geral será combinação linear (soma) desses modos separados porque a equação é linear e as condições de contorno em x são homogêneas (zero).
Observação sobre superposição: como a equação é linear e as condições em x são homogêneas, quaisquer combinações lineares de soluções separáveis também são soluções. Assim buscamos uma série do tipo
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,X_n(x)\,Y_n(y),
onde X_n e Y_n são modos correspondentes a autovalores \lambda_n.
Passo 3
Aplicando a separação: substitui u(x,y)=X(x)Y(y) na PDE e reorganiza.
Substituição:
u_{xx}+u_{yy}=X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Dividindo por X(x)Y(y) (assumindo não-nulo) obtemos:
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Isto implica que cada fração deve ser igual a uma constante oposta uma da outra. Chamamos essa constante de \lambda. Assim obtemos as duas ODEs:
Interpretação: \lambda é o parâmetro de separação (autovalor). Vamos determinar \lambda a partir das condições em x.
Passo 4
Resolver a ODE em x com as condições de contorno em x: X(0)=0 e X(\pi)=0. Encontrar os autovalores \lambda admissíveis.
Consideramos casos para \lambda:
Se \lambda<0, escreva \lambda=-\mu^2 com \mu>0. Então X''-\mu^2 X=0 tem solução X=Ae^{\mu x}+Be^{-\mu x}. As condições X(0)=0, X(\pi)=0 forçam A=-B e Ae^{\mu\pi}+Be^{-\mu\pi}=0 que leva apenas à solução trivial X\equiv0. Então \lambda<0 não produz modos não-triviais.
Se \lambda=0, então X''=0 e X(x)=Ax+B. As condições X(0)=0 e X(\pi)=0 dão B=0 e A\pi=0\Rightarrow A=0. Só a solução trivial. Logo \lambda\neq 0.
Se \lambda>0, escreva \lambda=\mu^2 com \mu>0. Então
X''+\mu^2 X=0,
com solução geral
X(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x).
Impor X(0)=0 dá A=0. Impor X(\pi)=0 com A=0 dá B\sin(\mu\pi)=0. Para ter B\neq0 (modo não trivial) precisamos \sin(\mu\pi)=0, ou seja \mu\pi=n\pi para algum n\in\mathbb{Z}. Tomamos n=1,2,\dots. Assim \mu=n e \lambda_n=n^2.
Portanto os autovalores admissíveis são
\lambda_n=n^2,\quad n=1,2,3,\dots,
e os autovetores em x correspondentes são (até fator multiplicativo)
X_n(x)=\sin(nx).
Passo 5
Resolver a ODE em y para cada autovalor \lambda_n=n^2.
Para \lambda=n^2 a equação em y é
Y''(y)-n^2 Y(y)=0.
Essa é uma ODE linear com coeficientes constantes; a solução geral é expressa por exponenciais ou por funções hiperbólicas. Escrevendo em termos de exponenciais:
Ambas formas são equivalentes. Agora impomos a condição em y=0.
Condição u(x,0)=0 para todos x implica que, para cada modo, X_n(x)Y_n(0) deve contribuir para zero na soma. Como X_n não é identicamente zero, devemos ter Y_n(0)=0 para cada modo presente. Assim:
Isso é uma expansão em série seno na base \{\sin(nx)\}. Para igualar as duas funções no intervalo 0<x<\pi, igualamos os coeficientes da série de Fourier seno. Em particular, os coeficientes b_n da expansão de \sin(2x) na base \sin(nx) satisfazem
b_n=a_n\,\operatorname{sinh}(n),
onde
b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin(2x)\sin(nx)\,dx.
Passo 8
Calcular explicitamente os coeficientes [b_n) usando ortogonalidade dos senos e obter os a_n.
E como (b_n=a_n\operatorname{sinh}(n)], obtemos a_n=\frac{b_n}{\operatorname{sinh}(n)}=\begin{cases} \dfrac{1}{\operatorname{sinh}(2)},& n=2,\\[6pt] 0,& n\neq 2. \end{cases}]
Passo 9
Concluir qual é a solução u(x,y) a partir dos coeficientes obtidos. (Aqui explico resumidamente o que isso significa no contexto do problema sem repetir a expressão final isolada.)
Como apenas o modo n=2 tem coeficiente não nulo, a série colapsa para um único termo do tipo a_2\operatorname{sinh}(2y)\sin(2x). O coeficiente foi encontrado como a_2=1/\operatorname{sinh}(2). Isso significa que a solução que satisfaz todas as condições de contorno é exatamente o modo correspondente a n=2 escalado por 1/\operatorname{sinh}(2).