Resolva, mostrando todos os passos, a equação da onda:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução
da equação da onda com as condições de contorno e iniciais dadas. Vou listar claramente o que é fornecido e o que se pede.
- Equação diferencial parcial:
- Condições de contorno (Dirichlet):
- Condições iniciais:
- O que se pede: determinar
para .
Passo 2
Escolha do método (explicação objetiva do que vou usar).
- Como o domínio em
é finito e as condições em e são nulas, um método natural é separação de variáveis e expansão em séries de senos (séries de Fourier seno), que respeitam as condições de contorno homogêneas. - A ideia é procurar soluções da forma separável
. Vou explicar essa técnica passo a passo.
Passo 3
Aplicando separação de variáveis.
- Suponha
. Substituindo na equação:
- Dividindo por
(assumindo e não-triviais):
- O lado esquerdo depende só de
, o direito só de , logo ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de . Assim obtemos o sistema de autovalores:
- As condições de contorno para
são e .
Passo 4
Resolver o problema de autovalores espacial.
- Procuramos
e funções que satisfaçam
- Se
não há soluções não-triviais que satisfaçam as duas condições homógeneas simultaneamente (casos e dão só solução trivial para estes BC). Logo tomamos e escrevemos com . - A solução geral é
. A condição força . Portanto . - A condição
impõe , i.e. para . Como , tomamos . - Logo os autovalores e autofunções são
- Essas funções
formam uma base ortogonal (série de senos) em adequada para expandir funções que se anulam nas extremidades.
Passo 5
Resolver a equação temporal para cada modo.
- Para cada
a equação temporal é
- Substituindo
:
ou
- Assim
é uma combinação linear de cosseno e seno com frequência
- A solução temporal geral é
Passo 6
Montar a solução geral por superposição (série de modos).
- Pela linearidade, a solução geral que satisfaz as condições de contorno é a série
com
.
- Agora vamos usar as condições iniciais para determinar os coeficientes
e .
Passo 7
Aplicar a condição inicial
.
- Para
:
- A série de senos é a expansão de uma função que é identicamente zero, logo todos os coeficientes
são nulos:
- Assim a solução reduz-se a
Passo 8
Aplicar a condição inicial
e usar ortogonalidade (cálculo dos coeficientes).
- Primeiro calcule
:
- Em
:
- Portanto precisamos expandir a função constante
em séries de senos sobre :
onde
.
- Para obter
usamos a fórmula dos coeficientes da série de senos (ortogonalidade):
- Calcule a integral passo a passo:
- Sabendo
e , obtemos
- Logo
- Observação importante: quando
é par, e . Quando é ímpar, e , portanto para ímpar
- Lembrando
, obtemos para ímpar:
- Para
par, então .
Passo 9
Escrever a solução final (organizando os termos ímpares).
- Substituindo os
na série, e lembrando que só os ímpares contribuem, obtemos
- É comum reindexar com
, . Fazendo isso:
- Esta série converge (por comparação com série
) e representa a solução da equação da onda com as condições dadas.