Resolva, mostrando todos os passos, a equação da onda:
\begin{array}{rr} u_{x x}=4 u_{t t}, & 0<x<3, \\ u(0, t)=0, & t>0 \\ u(3, t)=0, & t>0 \\ u(x, 0)=0, & t>0 \\ u_{t}(x, 0)=7, & 0<x<3 \\ \hline \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução u(x,t) da equação da onda com as condições de contorno e iniciais dadas. Vou listar claramente o que é fornecido e o que se pede.
  • Equação diferencial parcial:
u_{x x}=4\,u_{t t},\qquad 0<x<3,\\ t>0.
  • Condições de contorno (Dirichlet):
u(0,t)=0,\qquad u(3,t)=0,\qquad t>0.
  • Condições iniciais:
u(x,0)=0,\qquad 0<x<3,
u_{t}(x,0)=7,\qquad 0<x<3.
  • O que se pede: determinar u(x,t) para 0<x<3,\\ t>0.

Passo 2

Escolha do método (explicação objetiva do que vou usar).
  • Como o domínio em x é finito (0,3) e as condições em x=0 e x=3 são nulas, um método natural é separação de variáveis e expansão em séries de senos (séries de Fourier seno), que respeitam as condições de contorno homogêneas.
  • A ideia é procurar soluções da forma separável u(x,t)=X(x)\,T(t). Vou explicar essa técnica passo a passo.

Passo 3

Aplicando separação de variáveis.
  • Suponha u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo na equação:
X''(x)\,T(t)=4\,X(x)\,T''(t).
  • Dividindo por X(x)T(t) (assumindo X e T não-triviais):
\frac{X''(x)}{X(x)}=4\,\frac{T''(t)}{T(t)}.
  • O lado esquerdo depende só de x, o direito só de t, logo ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de -\lambda. Assim obtemos o sistema de autovalores:
X''(x)+\lambda X(x)=0,
4\,T''(t)+\lambda T(t)=0.
  • As condições de contorno para X são X(0)=0 e X(3)=0.

Passo 4

Resolver o problema de autovalores espacial.
  • Procuramos \lambda e funções X(x)\neq0 que satisfaçam
X''+\lambda X=0,\qquad X(0)=0,\\ X(3)=0.
  • Se \lambda\le 0 não há soluções não-triviais que satisfaçam as duas condições homógeneas simultaneamente (casos \lambda=0 e \lambda<0 dão só solução trivial para estes BC). Logo tomamos \lambda>0 e escrevemos \lambda=\mu^2 com \mu>0.
  • A solução geral é X(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x). A condição X(0)=0 força A=0. Portanto X(x)=B\sin(\mu x).
  • A condição X(3)=0 impõe \sin(\mu\cdot 3)=0, i.e. \mu\cdot 3=n\pi para n\in\mathbb{Z}. Como \mu>0, tomamos n=1,2,\dots.
  • Logo os autovalores e autofunções são
\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{3}\right)^2,\qquad X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{3}\right),\quad n=1,2,\dots
  • Essas funções X_n formam uma base ortogonal (série de senos) em (0,3) adequada para expandir funções que se anulam nas extremidades.

Passo 5

Resolver a equação temporal para cada modo.
  • Para cada \lambda_n a equação temporal é
4\,T_n''(t)+\lambda_n T_n(t)=0.
  • Substituindo \lambda_n=(n\pi/3)^2:
4\,T_n''(t)+\left(\frac{n\pi}{3}\right)^2 T_n(t)=0
ou
T_n''(t)+\left(\frac{n\pi}{6}\right)^2 T_n(t)=0.
  • Assim T_n é uma combinação linear de cosseno e seno com frequência
\omega_n=\frac{n\pi}{6}.
  • A solução temporal geral é
T_n(t)=A_n\cos\!\left(\omega_n t\right)+B_n\sin\!\left(\omega_n t\right).

Passo 6

Montar a solução geral por superposição (série de modos).
  • Pela linearidade, a solução geral que satisfaz as condições de contorno é a série
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\Bigr)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{3}\right),
com \omega_n=\dfrac{n\pi}{6}.
  • Agora vamos usar as condições iniciais para determinar os coeficientes A_n e B_n.

Passo 7

Aplicar a condição inicial u(x,0)=0.
  • Para t=0:
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{3}\right)=0,\qquad 0<x<3.
  • A série de senos é a expansão de uma função que é identicamente zero, logo todos os coeficientes A_n são nulos:
A_n=0\quad\text{para todo }n.
  • Assim a solução reduz-se a
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin(\omega_n t)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{3}\right).

Passo 8

Aplicar a condição inicial u_t(x,0)=7 e usar ortogonalidade (cálculo dos coeficientes).
  • Primeiro calcule u_t:
u_t(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\omega_n\cos(\omega_n t)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{3}\right).
  • Em t=0:
u_t(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\omega_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{3}\right)=7.
  • Portanto precisamos expandir a função constante f(x)=7 em séries de senos sobre (0,3):
7=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{3}\right),
onde C_n=B_n\omega_n.
  • Para obter C_n usamos a fórmula dos coeficientes da série de senos (ortogonalidade):
C_n=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}7\sin\!\left(\frac{n\pi x}{3}\right)\,dx.
  • Calcule a integral passo a passo:
\int_{0}^{3}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{3}\right)\,dx = \left[-\frac{3}{n\pi}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{3}\right)\right]_{0}^{3} = -\frac{3}{n\pi}\bigl(\cos(n\pi)-\cos 0\bigr).
  • Sabendo \cos(n\pi)=(-1)^n e \cos 0=1, obtemos
\int_{0}^{3}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{3}\right)\,dx = -\frac{3}{n\pi}\bigl((-1)^n-1\bigr)=\frac{3}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
  • Logo
C_n=\frac{2}{3}\cdot 7\cdot\frac{3}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr) =\frac{14}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
  • Observação importante: quando n é par, (-1)^n=1 e C_n=0. Quando n é ímpar, (-1)^n=-1 e 1-(-1)^n=2, portanto para n ímpar
C_n=\frac{28}{n\pi}.
  • Lembrando C_n=B_n\omega_n, obtemos para n ímpar:
B_n=\frac{C_n}{\omega_n}=\frac{28/(n\pi)}{\;n\pi/6\;}=\frac{28}{n\pi}\cdot\frac{6}{n\pi}=\frac{168}{n^2\pi^2}.
  • Para n par, C_n=0 então B_n=0.

Passo 9

Escrever a solução final (organizando os termos ímpares).
  • Substituindo os B_n na série, e lembrando que só os n ímpares contribuem, obtemos
u(x,t)=\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{168}{n^2\pi^2}\sin\!\left(\frac{n\pi}{6}t\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{3}\right).í
  • É comum reindexar com n=2k-1, k=1,2,\dots. Fazendo isso:
u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{168}{(2k-1)^2\pi^2}\sin\!\left(\frac{(2k-1)\pi}{6}t\right)\sin\!\left(\frac{(2k-1)\pi x}{3}\right).
  • Esta série converge (por comparação com série 1/n^2) e representa a solução da equação da onda com as condições dadas.

Resposta

u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{168}{(2k-1)^2\pi^2}\sin\!\left(\frac{(2k-1)\pi}{6}t\right)\sin\!\left(\frac{(2k-1)\pi x}{3}\right).

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