Seja A a coroa circular: 1 \leq r \leq 3, \pi / 4 \leq \theta \leq 3 \pi / 4. Calcule \iint \_A(r \cos \theta) d A.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{A} (r\cos\theta)\,dA
onde A é a região em coordenadas polares dada por
1 \le r \le 3,\quad \tfrac{\pi}{4}\le \theta \le \tfrac{3\pi}{4}.
O conteúdo envolve mudança para coordenadas polares e cálculo de integrais iteradas.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x=r\cos\theta, então o integrando é r\cos\theta e
dA = r\,dr\,d\theta.
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\iint_{A}r\cos\theta\,dA = \int_{\theta=\pi/4}^{3\pi/4}\int_{r=1}^{3}r\cos\theta\cdot r\,dr\,d\theta = \int_{\pi/4}^{3\pi/4}\cos\theta\Bigl(\int_{1}^{3}r^2\,dr\Bigr)\,d\theta.

Passo 3

Calcule a parte radial:
\int_{1}^{3}r^2\,dr =\left.\frac{r^3}{3}\right|_{1}^{3} =\frac{27-1}{3} =\frac{26}{3}.
Substituindo na integral angular:
\frac{26}{3}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\cos\theta\,d\theta =\frac{26}{3}\bigl[\sin\theta\bigr]_{\pi/4}^{3\pi/4} =\frac{26}{3}\Bigl(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr) =0.

Resposta

0

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