Use a parte (a) para mostrar que as séries convergem.
(i) sumn=1^infty ln nn^3
(ii) sumn=1^infty(1-cos 1n^2)

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que as séries (i) ∑_{n=1}^{∞} (ln n)/n³ e (ii) ∑_{n=1}^{∞} (1−cos(1/n²)) convergem. O conteúdo envolvido é convergência de séries infinitas: vamos usar o teste da integral para (i) e um teste de comparação usando expansão de Taylor de cos x para (ii).

Passo 2

Para a série (i), aplicamos o teste da integral. Se a função f(x)=ln x / x³ é positiva, decrescente para x≥1, então ∑_{n=1}^{∞} (ln n)/n³ e ∫_{1}^{∞} (ln x)/x³ dx têm o mesmo caráter de convergência.
Calculemos a integral por partes. Tomemos u=ln x e dv=x^{−3}dx, de modo que du=dx/x e v=−1/(2x²). Então
integral1^infty ln xx^3,dx = -ln x2x^2|1^infty + integral1^infty 12x^3,dx
Como limxtoinfty (ln x)/x^2=0 e ln1=0, o primeiro termo some. A segunda integral é
integral1^infty 12x^3,dx = -14x^2|1^infty = 14 < infty
Logo ∫_{1}^{∞} (ln x)/x³ dx converge, implicando que ∑ (ln n)/n³ também converge.

Passo 3

Para a série (ii), usamos a expansão de Taylor de cos t em torno de t=0:
cos t = 1 - t^22 + O(t^4)
Assim, para todo t temos a desigualdade 1−cos t ≤ t²/2. Tomando t=1/n²,
1 - cosl(1/n^2r) <= 12n^4
Como ∑_{n=1}^{∞} 1/(2n⁴) = (1/2)∑1/n⁴ é uma p-série com p=4>1, ela converge. Pelo teste de comparação, ∑(1−cos(1/n²)) também converge.

Resposta

As duas séries convergem.

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