Use a parte (a) para mostrar que as séries convergem.
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que as séries (i) ∑_{n=1}^{∞} (ln n)/n³ e (ii) ∑_{n=1}^{∞} (1−cos(1/n²)) convergem. O conteúdo envolvido é convergência de séries infinitas: vamos usar o teste da integral para (i) e um teste de comparação usando expansão de Taylor de cos x para (ii).
Passo 2
Para a série (i), aplicamos o teste da integral. Se a função f(x)=ln x / x³ é positiva, decrescente para x≥1, então ∑_{n=1}^{∞} (ln n)/n³ e ∫_{1}^{∞} (ln x)/x³ dx têm o mesmo caráter de convergência.
Calculemos a integral por partes. Tomemos u=ln x e dv=x^{−3}dx, de modo que du=dx/x e v=−1/(2x²). Então
Como limxtoinfty (ln x)/x^2=0 e ln1=0, o primeiro termo some. A segunda integral é