Use partições homogêneas para mostrar que o processo explicado em aula aplicado à função f: [a, b] -> R definida por f(x) = x + 1 na qual a >= 0 resulta na área A = (b^2 - a^2) / 2 + b - a do respectivo trapézio.

Passo 1

Então, temos que mostrar que para a função no intervalo , onde , a área do trapézio formado é . Vamos usar partições homogêneas, que são divisões do intervalo em segmentos de mesmo tamanho, para resolver isso. Vamos precisar entender como calcular áreas usando partições e um pouco de cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são partições homogêneas. Imagine que dividimos o intervalo em partes iguais. Cada parte terá uma largura dada por:
Isso facilita os cálculos porque todas as subintervalos têm o mesmo tamanho.

Passo 3

Agora, para cada subintervalo, vamos calcular a altura da função nos pontos iniciais e finais. Isso nos ajuda a formar pequenos trapézios cuja área podemos somar para encontrar a área total.

Passo 4

A área de cada trapézio pequeno é dada por:
onde para .

Passo 5

Somando todas essas pequenas áreas, temos a soma das áreas dos trapézios:
Substituindo nessa expressão, ficamos com:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da soma:
Como , temos:
Portanto:

Passo 7

Agora, ao somar todos os termos, reconhecemos que no limite quando tende ao infinito (ou seja, tende a zero), a soma se transforma em uma integral:

Passo 8

Calculando a integral:
Isso resulta em:

Resposta

A área do trapézio é .

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