Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
que corresponde a porção do plano
situada no interior da esfera
. Especifique a orientação escolhida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Essa superfície é a parte do plano
que está dentro da esfera
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo “passa” por essa superfície. Matematicamente, é calculado pela integral de superfície do produto escalar entre o campo vetorial
e o vetor normal à superfície
.
Passo 3
A superfície
é a parte do plano
dentro da esfera
. Para parametrizar essa superfície, podemos resolver a equação do plano para uma das variáveis, por exemplo,
.
Passo 4
Precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Como a equação do plano é
, o vetor normal é
. Porém, precisamos escolher a orientação da superfície. Vamos escolher o vetor normal apontando para fora da esfera.
Passo 5
Agora, vamos calcular o fluxo usando a fórmula da integral de superfície:
Substituindo
e
:
Passo 6
A integral ficou simplificada para
. Isso significa que o fluxo será
vezes a área da superfície
. Agora, precisamos calcular a área da porção do plano dentro da esfera.
Passo 7
Para encontrar a área da superfície
, vamos usar coordenadas polares no plano
. A interseção com a esfera
forma um círculo de raio
tal que:
Substituindo
na equação da esfera:
Isso representa um círculo projetado no plano, cuja área é
. Nesse caso,
, então a área é:
Passo 8
Agora que temos a área da superfície
, podemos calcular o fluxo:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é
. A orientação escolhida foi com o vetor normal apontando para fora da esfera.