Determine a área sob o gráfico de
de
a
usando os extremos direitos dos subintervalos e partição homogênea.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área abaixo do gráfico da função
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar o método das somas de Riemann, especificamente usando os extremos direitos dos subintervalos e dividindo o intervalo de forma igual (partição homogênea). Basicamente, isso significa que vamos dividir o intervalo em pedaços iguais, calcular a área de cada retângulo usando o extremo direito de cada pedaço e somar tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a largura de cada subintervalo. Como estamos dividindo o intervalo de 0 a 8 em
partes iguais, a largura de cada subintervalo (
) será:
Passo 3
Agora, precisamos identificar os pontos onde vamos calcular a função para cada retângulo. Como estamos usando os extremos direitos, o ponto
para cada subintervalo será:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a altura de cada retângulo, que é dada pela função
:
Passo 5
Agora, a área de cada retângulo é a altura multiplicada pela largura
:
Passo 6
Para encontrar a área total, somamos as áreas de todos os
retângulos:
Sabemos que a soma dos cubos dos primeiros
números é:
Substituindo isso na expressão da área total:
Passo 7
Agora, para encontrar a área exata, tomamos o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A área sob o gráfico de
de
a
é 1024 unidades quadradas.