Determine a área sob o gráfico de f(x) = x^3 de x = 0 a x = 8 usando os extremos direitos dos subintervalos e partição homogênea.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área abaixo do gráfico da função no intervalo de a . Para isso, vamos usar o método das somas de Riemann, especificamente usando os extremos direitos dos subintervalos e dividindo o intervalo de forma igual (partição homogênea). Basicamente, isso significa que vamos dividir o intervalo em pedaços iguais, calcular a área de cada retângulo usando o extremo direito de cada pedaço e somar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a largura de cada subintervalo. Como estamos dividindo o intervalo de 0 a 8 em partes iguais, a largura de cada subintervalo ( ) será:

Passo 3

Agora, precisamos identificar os pontos onde vamos calcular a função para cada retângulo. Como estamos usando os extremos direitos, o ponto para cada subintervalo será:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a altura de cada retângulo, que é dada pela função :

Passo 5

Agora, a área de cada retângulo é a altura multiplicada pela largura :
Áâ

Passo 6

Para encontrar a área total, somamos as áreas de todos os retângulos:
Á
Sabemos que a soma dos cubos dos primeiros números é:
Substituindo isso na expressão da área total:
Á

Passo 7

Agora, para encontrar a área exata, tomamos o limite quando tende ao infinito:
Á

Resposta

A área sob o gráfico de de a é 1024 unidades quadradas.

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