Use a periodicidade das funções trigonométricas e os valores das funções para ângulos entre 0 e 2 \pi radianos para determinar:
\operatorname{cossec}(9 / 4 \pi)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \cossec\bigl(\tfrac{9}{4}\pi\bigr), ou seja, \csc\bigl(\tfrac{9}{4}\pi\bigr). O conteúdo aqui é a periodicidade das funções trigonométricas e a tabela de valores de seno para ângulos em [0,2\pi].

Passo 2

Observamos que
\frac{9}{4}\pi = 2\pi + \frac{\pi}{4},
então podemos subtrair 2\pi para ficar num ângulo equivalente no intervalo [0,2\pi].

Passo 3

Pela periodicidade do seno, \sin(x+2\pi)=\sin x. Logo,
\sin\!\Bigl(\tfrac{9}{4}\pi\Bigr) =\sin\!\Bigl(2\pi + \tfrac{\pi}{4}\Bigr) =\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Por definição, \cossec(x)=\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}. Assim,
\cossec\!\Bigl(\tfrac{9}{4}\pi\Bigr) =\frac{1}{\sin\bigl(\tfrac{9}{4}\pi\bigr)} =\frac{1}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} =\frac{2}{\sqrt{2}} =\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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