Use o polinômio de Taylor para calcular o exato valor do limite
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas (explícitas no enunciado):
- A variável tende a zero:
. - Temos duas funções singulares perto de
: (porque e ) e (porque ). - O objetivo é calcular o valor exato do limite, não uma aproximação numérica.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma simples): como ambas as parcelas têm comportamento singular quando
(uma diverge como
negativa, outra como
positiva), a forma mais prática é desenvolver séries de Taylor (polinômios de Taylor) das funções envolvidas até ordem suficiente para que os termos divergentes se cancelem e possamos ler o termo constante que fica quando
. Vou explicar as séries que uso e por que preciso de termos até ordem
.
Passo 3
Lembrete sobre séries de Taylor úteis:
- A série de
em torno de até ordem é
Explicação curta: os coeficientes vêm das derivadas de
em
; o termo em
é
, em
é
, em
é
. O
indica termos de ordem
ou superiores que vamos desprezar porque não influenciam o limite que procuramos.
- A série de
em torno de até ordem é
Vou precisar de
até
para obter
até
.
Passo 4
Expansão de
: primeiro escrevo
com
A fórmula de Taylor para
é
válida para
pequeno. Aqui
é da ordem
, logo
é da ordem
e
é
, que podemos ignorar no nosso cálculo até
.
Passo 5
Calcular
usando
:
Primeiro, já foi dado:
Primeiro,
Agora
até ordem
é
Aplicando
obtemos
Simplificando os coeficientes de
:
Portanto
Passo 6
Colocar
em forma fatorada para facilitar a inversão:
Agora quero
. Se
e
, então
Nós sabemos
. Para
usamos a expansão geométrica para
:
válida para
pequeno. Aqui
, então
Multiplicando,
Distribuindo:
E
, portanto
Passo 7
Agora desenvolvo
. Primeiro obtenho
até
.
Com ,
Com
Logo
Invertendo,
Multiplicando por
,
Passo 8
Somando as duas parcelas que expandimos:
Os termos
e
se cancelam. Somando os termos constantes:
Os termos
tendem a zero quando
, então o limite é o termo constante restante,
.
Passo 9
Conclusão final: o limite existe e vale
. Você pode ver que a ideia foi expandir até ordem
porque os termos de ordem
(mais fortes) aparecem nas duas parcelas e se anulam, deixando o termo constante como resposta. Força aí — essa técnica de expandir até o menor grau necessário e inverter séries é super útil em provas!