Use o polinômio de Taylor para calcular o exato valor do limite
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\log (\cos (x))}+\frac{2}{\operatorname{sen}^{2}(x)}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\log(\cos(x))}+\frac{2}{\sin^{2}(x)}\right).
Informações dadas (explícitas no enunciado):
  • A variável tende a zero: x\to 0.
  • Temos duas funções singulares perto de 0: \log(\cos(x)) (porque \cos(0)=1 e \log(1)=0) e \sin^{2}(x) (porque \sin(0)=0).
  • O objetivo é calcular o valor exato do limite, não uma aproximação numérica.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma simples): como ambas as parcelas têm comportamento singular quando x\to 0 (uma diverge como 1/x^2 negativa, outra como 1/x^2 positiva), a forma mais prática é desenvolver séries de Taylor (polinômios de Taylor) das funções envolvidas até ordem suficiente para que os termos divergentes se cancelem e possamos ler o termo constante que fica quando x\to 0. Vou explicar as séries que uso e por que preciso de termos até ordem x^4.

Passo 3

Lembrete sobre séries de Taylor úteis:
  • A série de \cos(x) em torno de 0 até ordem x^4 é
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6}).
Explicação curta: os coeficientes vêm das derivadas de \cos em 0; o termo em x^{0} é 1, em x^{2} é -1/2, em x^{4} é 1/24. O O(x^{6}) indica termos de ordem x^{6} ou superiores que vamos desprezar porque não influenciam o limite que procuramos.
  • A série de \sin(x) em torno de 0 até ordem x^{5} é
\sin(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+O(x^{5}).
Vou precisar de \sin(x) até x^{3} para obter \sin^{2}(x) até x^{4}.

Passo 4

Expansão de \log(\cos(x)): primeiro escrevo \cos(x)=1+u com
u=\cos(x)-1=-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6}).
A fórmula de Taylor para \log(1+u) é
\log(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+O(u^{3}),
válida para u pequeno. Aqui u é da ordem x^{2}, logo u^{2} é da ordem x^{4} e u^{3} é O(x^{6}), que podemos ignorar no nosso cálculo até x^{4}.

Passo 5

Calcular \log(\cos(x)) usando u:
Primeiro, u já foi dado:
u=-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6}).
Agora u^{2} até ordem x^{4} é
u^{2}=\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)^{2}+O(x^{6})=\frac{x^{4}}{4}+O(x^{6}).
Aplicando \log(1+u)=u-\dfrac{u^{2}}{2}+O(u^{3}) obtemos
\log(\cos(x))= -\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{4}}{4}+O(x^{6}).
Simplificando os coeficientes de x^{4}:
\frac{1}{24}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}-\frac{3}{24}=-\frac{2}{24}=-\frac{1}{12}.
Portanto
\log(\cos(x))=-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{12}+O(x^{6}).

Passo 6

Colocar \log(\cos(x)) em forma fatorada para facilitar a inversão:
\log(\cos(x))=-\frac{x^{2}}{2}\left(1+\frac{x^{2}}{6}+O(x^{4})\right).
Agora quero 1/\log(\cos(x)). Se A=-\dfrac{x^{2}}{2} e B=1+\dfrac{x^{2}}{6}+O(x^{4}), então
\frac{1}{\log(\cos(x))}=\frac{1}{A\cdot B}=\frac{1}{A}\cdot\frac{1}{B}.
Nós sabemos \dfrac{1}{A}=-\dfrac{2}{x^{2}}. Para \dfrac{1}{B} usamos a expansão geométrica para 1/(1+t):
\frac{1}{1+t}=1-t+O(t^{2}),
válida para t pequeno. Aqui t=\dfrac{x^{2}}{6}+O(x^{4}), então
\frac{1}{B}=1-\frac{x^{2}}{6}+O(x^{4}).
Multiplicando,
\frac{1}{\log(\cos(x))}=-\frac{2}{x^{2}}\left(1-\frac{x^{2}}{6}+O(x^{4})\right).
Distribuindo:
\frac{1}{\log(\cos(x))}=-\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{6}+O(x^{2}).
E \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}, portanto
\frac{1}{\log(\cos(x))}=-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{3}+O(x^{2}).

Passo 7

Agora desenvolvo \dfrac{2}{\sin^{2}(x)}. Primeiro obtenho \sin^{2}(x) até x^{4}.
Com \sin(x)=x-\dfrac{x^{3}}{6}+O(x^{5}),
\sin^{2}(x)=\left(x-\frac{x^{3}}{6}+O(x^{5})\right)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot\frac{x^{3}}{6}+O(x^{6})=x^{2}-\frac{x^{4}}{3}+O(x^{6}).
Logo
\sin^{2}(x)=x^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{3}+O(x^{4})\right).
Invertendo,
\frac{1}{\sin^{2}(x)}=\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{1}{1-\frac{x^{2}}{3}+O(x^{4})}=\frac{1}{x^{2}}\left(1+\frac{x^{2}}{3}+O(x^{4})\right).
Multiplicando por 2,
\frac{2}{\sin^{2}(x)}=\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{3}+O(x^{2}).

Passo 8

Somando as duas parcelas que expandimos:
\frac{1}{\log(\cos(x))}+\frac{2}{\sin^{2}(x)}=\left(-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{3}+O(x^{2})\right)+\left(\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{3}+O(x^{2})\right).
Os termos -\dfrac{2}{x^{2}} e \dfrac{2}{x^{2}} se cancelam. Somando os termos constantes:
\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1.
Os termos O(x^{2}) tendem a zero quando x\to 0, então o limite é o termo constante restante, 1.

Passo 9

Conclusão final: o limite existe e vale 1. Você pode ver que a ideia foi expandir até ordem x^{4} porque os termos de ordem x^{-2} (mais fortes) aparecem nas duas parcelas e se anulam, deixando o termo constante como resposta. Força aí — essa técnica de expandir até o menor grau necessário e inverter séries é super útil em provas!

Resposta

\;1

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