Sendo
determine a relação entre
e
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado dá que
e pede: para cada uma das equações listadas (a) a (f), determinar a relação entre
e
. Ou seja, transformar cada equação de segunda ordem em uma relação que envolva
e
(pode ser uma relação explícita
ou uma relação implícita que conecte
e
). Informações relevantes fornecidas:
- Em todas as alternativas aparece
(segunda derivada de em relação a ) e (derivada de em relação a ), e está dado que . - Precisamos usar a relação entre derivadas temporais e derivadas em relação a
para reduzir a ordem da equação.
Passo 2
Regra-chave que vou usar (cadeia): quando
e queremos
em termos de
e
, usamos
Explicando passo a passo:
é a taxa de variação de
no tempo; pela regra da cadeia podemos escrever essa taxa como a taxa de variação de
com respeito a
multiplicada pela taxa de variação de
com respeito ao tempo. Como
, obtemos
. Essa transformação reduz uma equação em
para uma equação em
e
, que costuma ser mais simples de integrar.
Passo 3
Equação:
.
Substituo , obtendo
Substituo
Isto é separável: multiplico por
e integro:
Integração:
dá
onde
é constante de integração. Isolando,
com
. Portanto a relação final é
.
Passo 4
Equação:
.
Substituo e
:
Substituo
Reescrevendo:
Divido por
e separo as variáveis:
Antes de integrar, simplifico a fração:
Integro ambos os lados:
o que dá
Essa é a relação implícita entre
e
. Não é possível isolar
em função elementar de
de forma simples, por isso deixamos em forma implícita.
Passo 5
Equação:
.
Substituo e
:
Substituo
Reescrevo:
Divido por
e separo:
Agora integro. Para integrar o lado esquerdo, uso a substituição
, então
e
. Fazendo isso:
Voltando a
e integrando o lado direito
, obtemos
Multiplicando por
e reorganizando,
que é a relação implícita entre
e
. Observação: se
(caso especial), a equação original vira
e a redução dá
, integração leva a
ou
.
Passo 6
Equação:
.
Substituo :
Substituo
Separo e integro:
Integração dá
ou
com
. Logo
. Essa é a forma da conservação de energia para o oscilador harmônico com constante
.
Passo 7
Equação:
.
Substituo e
:
Substituo
Reescrevendo:
Para simplificar, defino
. Então
, ou seja
. Substituindo:
Essa é uma equação linear de primeira ordem para
. Vou resolver por fator integrante: o fator integrante é
. Multiplicando tudo por
obtemos
Integro ambos os lados; uma primitiva de
é
(pode verificar por derivação), então
Multiplicando por
,
Voltando a
(lembre que
),
ou seja
Passo 8
Equação:
.
Substituo e
:
Substituo
Reescrevo:
Separo as variáveis:
Integro o lado esquerdo. Observação:
tem primitiva
, porque a derivada de
é
. Assim
Multiplicando por
e exponenciando:
Portanto
ou
Resposta
a)
(ou
).
b) .
c) \quad (se
então
).
d) (ou
).
e) (ou
).
f) (ou
).
b)
c)
d)
e)
f)