Sendo v=\frac{d x}{d t} determine a relação entre v e x.
a) \ddot{x}=-x^{3}
b) \ddot{x}-x^{3} \dot{x}+x^{3}=0
c) \ddot{x}+\alpha x \dot{x}+x=0
d) \ddot{x}+4 x=0
e) \ddot{x}-\dot{x}^{2}+x=0
f) \ddot{x}-x \dot{x}^{2}+x=0

Passo 1

O enunciado dá que \,v=\dfrac{dx}{dt}\, e pede: para cada uma das equações listadas (a) a (f), determinar a relação entre v e x. Ou seja, transformar cada equação de segunda ordem em uma relação que envolva v e x (pode ser uma relação explícita v(x) ou uma relação implícita que conecte v e x). Informações relevantes fornecidas:
  • Em todas as alternativas aparece \ddot{x} (segunda derivada de x em relação a t) e \dot{x} (derivada de x em relação a t), e está dado que \dot{x}=v.
  • Precisamos usar a relação entre derivadas temporais e derivadas em relação a x para reduzir a ordem da equação.

Passo 2

Regra-chave que vou usar (cadeia): quando v=\dfrac{dx}{dt} e queremos \ddot{x}=\dfrac{d^2 x}{dt^2} em termos de x e v, usamos
\ddot{x}=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}.
Explicando passo a passo: \dfrac{dv}{dt} é a taxa de variação de v no tempo; pela regra da cadeia podemos escrever essa taxa como a taxa de variação de v com respeito a x multiplicada pela taxa de variação de x com respeito ao tempo. Como \dfrac{dx}{dt}=v, obtemos \ddot{x}=v\,\dfrac{dv}{dx}. Essa transformação reduz uma equação em t para uma equação em x e v, que costuma ser mais simples de integrar.

Passo 3

Equação: \ddot{x}=-x^{3}.
Substituo \ddot{x}=v\frac{dv}{dx}, obtendo
v\frac{dv}{dx} = -x^{3}.
Isto é separável: multiplico por dx e integro:
v\,dv = -x^{3}\,dx.
Integração: \displaystyle \int v\,dv = \int -x^{3}\,dx
\frac{1}{2}v^{2} = -\frac{1}{4}x^{4} + C,
onde C é constante de integração. Isolando,
v^{2} = -\tfrac{1}{2}x^{4} + C',
com C'=2C. Portanto a relação final é v=\pm\sqrt{C'-\tfrac{1}{2}x^{4}}.

Passo 4

Equação: \ddot{x}-x^{3}\dot{x}+x^{3}=0.
Substituo \ddot{x}=v\frac{dv}{dx} e \dot{x}=v:
v\frac{dv}{dx} - x^{3}v + x^{3}=0.
Reescrevendo:
v\frac{dv}{dx} = x^{3}(v-1).
Divido por dx e separo as variáveis:
\frac{v}{v-1}\,dv = x^{3}\,dx.
Antes de integrar, simplifico a fração:
\frac{v}{v-1} = 1 + \frac{1}{v-1}.
Integro ambos os lados:
\int\left(1+\frac{1}{v-1}\right)dv = \int x^{3}\,dx
o que dá
v + \ln|v-1| = \frac{1}{4}x^{4} + C.
Essa é a relação implícita entre v e x. Não é possível isolar v em função elementar de x de forma simples, por isso deixamos em forma implícita.

Passo 5

Equação: \ddot{x}+\alpha x\dot{x}+x=0.
Substituo \ddot{x}=v\frac{dv}{dx} e \dot{x}=v:
v\frac{dv}{dx} + \alpha x v + x = 0.
Reescrevo:
v\frac{dv}{dx} = -x(\alpha v + 1).
Divido por dx e separo:
\frac{v}{\alpha v + 1}\,dv = -x\,dx.
Agora integro. Para integrar o lado esquerdo, uso a substituição u=\alpha v +1, então du=\alpha\,dv e v=(u-1)/\alpha. Fazendo isso:
\int \frac{v}{\alpha v +1}\,dv = \int \frac{u-1}{\alpha^2 u}\,du = \frac{1}{\alpha^2}\int\left(1-\frac{1}{u}\right)du = \frac{1}{\alpha^2}\bigl(u-\ln|u|\bigr)+\text{const}.
Voltando a v e integrando o lado direito \int -x\,dx = -\tfrac{1}{2}x^{2}, obtemos
\frac{1}{\alpha^2}\bigl(\alpha v + 1 - \ln|\alpha v + 1|\bigr) = -\frac{1}{2}x^{2} + C.
Multiplicando por \alpha^{2} e reorganizando,
\alpha v + 1 - \ln|\alpha v + 1| = -\frac{\alpha^{2}}{2}x^{2} + C',
que é a relação implícita entre v e x. Observação: se \alpha=0 (caso especial), a equação original vira \ddot{x}+x=0 e a redução dá v\frac{dv}{dx}=-x, integração leva a \tfrac{1}{2}v^{2}=-\tfrac{1}{2}x^{2}+C ou v^{2}+x^{2}=C'.

Passo 6

Equação: \ddot{x}+4x=0.
Substituo \ddot{x}=v\frac{dv}{dx}:
v\frac{dv}{dx} + 4x = 0 \quad\Rightarrow\quad v\frac{dv}{dx} = -4x.
Separo e integro:
v\,dv = -4x\,dx \quad\Rightarrow\quad \int v\,dv = \int -4x\,dx.
Integração dá
\frac{1}{2}v^{2} = -2x^{2} + C,
ou
v^{2} + 4x^{2} = C',
com C'=2C. Logo v=\pm\sqrt{C'-4x^{2}}. Essa é a forma da conservação de energia para o oscilador harmônico com constante 4.

Passo 7

Equação: \ddot{x}-\dot{x}^{2}+x=0.
Substituo \ddot{x}=v\frac{dv}{dx} e \dot{x}^2=v^{2}:
v\frac{dv}{dx} - v^{2} + x = 0.
Reescrevendo:
v\frac{dv}{dx} = v^{2} - x.
Para simplificar, defino u=v^{2}. Então du/dx = 2v\,dv/dx, ou seja v\,dv/dx = \tfrac{1}{2}\,du/dx. Substituindo:
\frac{1}{2}\frac{du}{dx} = u - x \quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dx} - 2u = -2x.
Essa é uma equação linear de primeira ordem para u(x). Vou resolver por fator integrante: o fator integrante é e^{-2x}. Multiplicando tudo por e^{-2x} obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(u e^{-2x}\bigr) = -2x e^{-2x}.
Integro ambos os lados; uma primitiva de -2x e^{-2x} é (x+\tfrac{1}{2})e^{-2x} (pode verificar por derivação), então
u e^{-2x} = (x+\tfrac{1}{2})e^{-2x} + C.
Multiplicando por e^{2x},
u = C e^{2x} + x + \tfrac{1}{2}.
Voltando a v (lembre que u=v^{2}),
v^{2} = C e^{2x} + x + \tfrac{1}{2},
ou seja
v = \pm\sqrt{C e^{2x} + x + \tfrac{1}{2}}.

Passo 8

Equação: \ddot{x}-x\dot{x}^{2}+x=0.
Substituo \ddot{x}=v\frac{dv}{dx} e \dot{x}^{2}=v^{2}:
v\frac{dv}{dx} - x v^{2} + x = 0.
Reescrevo:
v\frac{dv}{dx} = x(v^{2}-1).
Separo as variáveis:
\frac{v}{v^{2}-1}\,dv = x\,dx.
Integro o lado esquerdo. Observação: \dfrac{v}{v^{2}-1} tem primitiva \tfrac{1}{2}\ln|v^{2}-1|, porque a derivada de v^{2}-1 é 2v. Assim
\frac{1}{2}\ln|v^{2}-1| = \frac{1}{2}x^{2} + C.
Multiplicando por 2 e exponenciando:
\ln|v^{2}-1| = x^{2} + C' \quad\Rightarrow\quad v^{2}-1 = C'' e^{x^{2}}.
Portanto
v^{2} = 1 + C e^{x^{2}},
ou
v = \pm\sqrt{1 + C e^{x^{2}}}.

Resposta

a) v^{2} = -\tfrac{1}{2}x^{4} + C (ou v=\pm\sqrt{C-\tfrac{1}{2}x^{4}}).
b) v + \ln|v-1| = \tfrac{1}{4}x^{4} + C.
c) \alpha v + 1 - \ln|\alpha v + 1| = -\dfrac{\alpha^{2}}{2}x^{2} + C \quad (se \alpha=0 então v^{2}+x^{2}=C).
d) v^{2} + 4x^{2} = C (ou v=\pm\sqrt{C-4x^{2}}).
e) v^{2} = C e^{2x} + x + \tfrac{1}{2} (ou v=\pm\sqrt{C e^{2x} + x + \tfrac{1}{2}}).
f) v^{2} = 1 + C e^{x^{2}} (ou v=\pm\sqrt{1 + C e^{x^{2}}}).

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